eseper je napisao:Dakle, po meni je ovo rezultat. Može biti i da nisam nešto dobro napravio, ali zato sam tu i postavio zadatak...

Sasvim ispravno. Mislim, nije ti ispravno rešenje, već je ispravno to što si ovde postavio zadatak.

eseper je napisao:- kako je [inlmath]\frac{\sin x}{x}=1[/inlmath]

U matematici se mora izražavati precizno. Nije [inlmath]\frac{\sin x}{x}=1[/inlmath], već je [inlmath]{\color{red}\lim\limits_{x\to 0}}\frac{\sin x}{x}=1[/inlmath].

eseper je napisao:to se može iskoristiti ovdje da se riješim sinusa
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3n}\frac{n^2+n+1}{n^2+n}\frac{\sin\frac{n^2}{\pi}}{\frac{n^2}{\pi}}\frac{n^2}{\pi}\right)[/dispmath]

Izraz [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{n^2}{\pi}}{\frac{n^2}{\pi}}[/inlmath] se ne svodi na [inlmath]\lim\limits_{x\to{\color{red}0}}\frac{\sin x}{x}[/inlmath], već se svodi na [inlmath]\lim\limits_{x\to{\color{red}\infty}}\frac{\sin x}{x}[/inlmath]

[inlmath]\lim\limits_{x\to{\color{red}\infty}}\frac{\sin x}{x}\ne 1[/inlmath] U tom slučaju brojilac ne teži nekoj određenoj vrednosti, već „lebdi“ između [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath], a imenilac teži beskonačnosti, pa ceo limes teži nuli.

Da si, primera radi, imao [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{\pi}{n^2}}{\frac{\pi}{n^2}}[/inlmath], e tada bi argument sinusa i imenilac težili nuli, pa bi se to svelo na slučaj [inlmath]\lim\limits_{x\to{\color{red}0}}\frac{\sin x}{x}=1[/inlmath].

Kada ispravno rešiš ovaj zadatak, dobićeš da je konačno rešenje nula.

Potpuno zaboravih činjenicu sa [inlmath]\frac{\sin x}{x}[/inlmath] koju si naveo. Uglavnom, mislim da se nula dobije na vrlo jednostavan način, ujutro ću i napisati kao i postaviti još nekoliko pitanja vezano uz ovakve zadatke

Evo, nadam se da sam se točno ispravio
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3n}\frac{n^2+n+1}{n^2+n}\sin\frac{n^2}{\pi}\right)=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{2}{3}\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^2+n+1}{n^3+n^2}\sin\frac{n^2}{\pi}\right)=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{2}{3}\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n^3\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3}\right)}{n^3\left(1+\frac{1}{n}\right)}\sin\frac{n^2}{\pi}\right)=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{2}{3}\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\cancel{n^3}\left(\cancelto{0}{\frac{1}{n}}+\cancelto{0}{\frac{1}{n^2}}+\cancelto{0}{\frac{1}{n^3}}\right)}{\cancel{n^3}\left(1+\cancelto{0}{\frac{1}{n}}\right)}\sin\frac{n^2}{\pi}\right)=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{2}{3}\lim_{n\to\infty}0\cdot\sin\frac{n^2}{\pi}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{2}{3}\lim_{n\to\infty}0={\color{red}0}[/dispmath]
E sad me zanima sljedeće: da je rezultat kraćenja ovih [inlmath]n[/inlmath]-ova neki pozitivan cijeli broj, a da umjesto [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\cdots\sin\frac{n^2}{\pi}[/inlmath] piše [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\cdots\sin\frac{\pi}{n^2}[/inlmath], tada bih mogao podijeliti taj izraz s argumentom sinusa, kao i pomnožiti. Tj. tada bih postupio kao što sam napravio prethodni post?

[inlmath](2)[/inlmath]
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\prod_{k=2}^n\frac{(k-1)(k+1)}{k(k+2)}\cos\frac{n!+100}{n^2}[/dispmath]
- rezultat raspisivanja ovog produkta je
[dispmath]\prod_{k=2}^n\frac{(k-1)(k+1)}{k(k+2)}=\frac{3}{n(n+2)}[/dispmath]
odnosno
[dispmath]3\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2+2n}\cos\frac{n!+100}{n^2}[/dispmath]
očigledno da će
[dispmath]=3\lim_{n\to\infty}\cdots\cos\frac{n!+100}{n^2}[/dispmath]
biti nula, jer imamo dijeljenje veličinom koja je u intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath] beskonačno velikom veličinom [inlmath]n^2[/inlmath]... samim tim proizašlo bi da je rezultat cijelog zadatka ponovo [inlmath]0[/inlmath]
A osim toga, da je i rezultat ovog kosinusa neki cijeli broj, opet bi rezultat bio [inlmath]0[/inlmath] zbog [inlmath]3\lim\limits_{n\to\infty}\cdots {\color{red}\frac{1}{n^2+2n}}[/inlmath]

Ispravka zadatka od juče je dobro odrađena.

E sad me zanima sljedeće: da je rezultat kraćenja ovih [inlmath]n[/inlmath]-ova neki pozitivan cijeli broj, a da umjesto [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\cdots\sin\frac{n^2}{\pi}[/inlmath] piše [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\cdots\sin\frac{\pi}{n^2}[/inlmath], tada bih mogao podijeliti taj izraz s argumentom sinusa, kao i pomnožiti. Tj. tada bih postupio kao što sam napravio prethdni post?

Ako dobro razumem ti bi da rešiš [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}A\sin\frac{\pi}{n^2}[/inlmath], gde je [inlmath]A[/inlmath] neki ceo broj na sledeći način.
[dispmath]\lim_{n\to\infty}A\sin\frac{\pi}{n^2}\cdot\frac{\frac{\pi}{n^2}}{\frac{\pi}{n^2}}[/dispmath]
[dispmath]A\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{\pi}{n^2}}{\frac{\pi}{n^2}}\cdot\frac{\pi}{n^2}[/dispmath]
[dispmath]A\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{\pi}{n^2}}{\frac{\pi}{n^2}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{\pi}{n^2}[/dispmath]
[dispmath]A\lim_{n\to\infty}\frac{\pi}{n^2}=0[/dispmath]
Korak gde uzimamo da je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sin\frac{\pi}{n^2}}{\frac{\pi}{n^2}}=1[/inlmath] je ok, pošto se smenom [inlmath]t=\frac{\pi}{n^2}[/inlmath] limes svodi na [inlmath]\lim\limits_{t\to{0}}\frac{\sin t}{t}=1[/inlmath]

S tim što je sve navedeno nepotrebno komplikovanje, budući da je:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}A\sin\frac{\pi}{n^2}=A\lim_{n\to\infty}\sin\frac{\pi}{n^2}=A\cdot 0[/dispmath]
Pošto za [inlmath]n\to\infty[/inlmath] važi [inlmath]\frac{\pi}{n^2}\to 0[/inlmath], a [inlmath]\sin x\to 0[/inlmath] za [inlmath]x\to 0[/inlmath]

Dakle, ispravno je razmišljanje, ali nepotrebno komplikuje zadatak. Međutim, ako bismo umesto celog broja imali [inlmath]A(n)\neq\mbox{const}[/inlmath], tj. npr [inlmath]n^2[/inlmath], onda bi tvoj pristup bio praktičan i tačan.

Što se tiče drugog (istina, nisam proveravao da li si dobro sredio ovaj proizvod), rešenje ti je dobro...
[dispmath]3\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2+2n}\cos\frac{n!+100}{n^2}=3\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2+2n}\lim_{n\to\infty}\cos\frac{n!+100}{n^2}[/dispmath]
A to je isto što i [inlmath]A\cdot 0[/inlmath], gde je [inlmath]A[/inlmath] konačan broj (kako kosinus uzima vrednosti između [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]).

Evo, ja sam proverio, sređivanje proizvoda je u redu, tj. [inlmath]\prod\limits_{k=2}^n\frac{\left(k-1\right)\left(k+1\right)}{k\left(k+2\right)}=\frac{3}{n\left(n+2\right)}[/inlmath].

E sad, mene malo buni sledeće:

eseper je napisao:[dispmath]3\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2+2n}\cos\frac{n!+100}{n^2}[/dispmath]
očigledno da će
[dispmath]=3\lim_{n\to\infty}{\color{red}\cdots}\cos\frac{n!+100}{n^2}[/dispmath]
biti nula, jer imamo dijeljenje veličinom koja je u intervalu [inlmath][-1,1][/inlmath] beskonačno velikom veličinom [inlmath]n^2[/inlmath]... samim tim proizašlo bi da je rezultat cijelog zadatka ponovo [inlmath]0[/inlmath]

tj. bune me te tri tačke. Vrlo je bitno šta stoji na mestu te tri tačke, jer od toga zavisi vrednost limesa. Vrednost koju daje [inlmath]\cos\frac{n!+100}{n^2}[/inlmath] je konačna (između [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]), pa ako se pomnoži nekom veličinom koja je srazmerna [inlmath]n[/inlmath], limes će biti beskonačan; ako se pomnoži nekom konačnom konstantom [inlmath]A[/inlmath], limes će biti neodređen („lebdeće“ između [inlmath]-3A[/inlmath] i [inlmath]3A[/inlmath]); a ako se pomnoži veličinom koja je obrnuto srazmerna [inlmath]n[/inlmath], vrednost limesa će biti nula.

eseper je napisao:A osim toga, da je i rezultat ovog kosinusa neki cijeli broj, opet bi rezultat bio [inlmath]0[/inlmath] zbog [inlmath]3\lim\limits_{n\to\infty}\cdots{\color{red}\frac{1}{n^2+2n}}[/inlmath]

Nebitno da li na mestu kosinusa imamo celi broj, ili racionalan, ili iracionalan – uopšte ako umesto kosinusa imamo bilo kakvu konstantu konačne vrednosti, ona će, pomnožena izrazom [inlmath]\frac{1}{n^2+2n}[/inlmath], koji teži nuli, dati limes koji je jednak nuli.

Hvala puno Milovane!

@Daniel, možda je malo konfuzno s tim točkama. Možemo ih slobodno zanemariti. Taj limes tada daje nulu zbog argumenta kosinusa, zar ne? Tj. zbog nazivnika argumenta kosinusa...

[inlmath](3)[/inlmath]

Evo (naizgled) nešto složenijeg:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(3n^2+n+1\right)\mathrm{arctg}\left(\frac{1}{n^2}\prod_{n=2}^\infty\left(1-\frac{1}{k^2}\right)\right)[/dispmath]
Rezultat raspisivanja produkta je
[dispmath]\prod_{n=2}^\infty\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\frac{1}{2}\frac{n+1}{n}[/dispmath]
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(3n^2+n+1\right)\mathrm{arctg}\left(\frac{1}{n^2}\frac{n+1}{2n}\right)[/dispmath]
Sada, ako se ne varam, arkus tangens možemo zanemariti jer je njegov argument blizak nuli kada [inlmath]n[/inlmath] teži u [inlmath]\infty[/inlmath]
u tom slučaju
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(3n^2+n+1\right)\frac{n+1}{2n^3}[/dispmath]
[dispmath]\lim_{n\to\infty}n^2\left(3+\cancelto{0}{\frac{1}{n}}+\cancelto{0}{\frac{1}{n^2}}\right)\left(\frac{n+1}{2n^3}\right)[/dispmath]
[dispmath]3\lim_{n\to\infty}\frac{n^3+n^2}{2n^3}[/dispmath]
podijelimo brojnik i nazivnik s [inlmath]n^3[/inlmath] i ostaje
[dispmath]3\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2}[/dispmath]
pa je konačno rješenje (naravno, ako sam ispravno radio)
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(3n^2+n+1\right)\mathrm{arctg}\left(\frac{1}{n^2}\prod_{n=2}^\infty\left(1-\frac{1}{k^2}\right)\right)=\frac{3}{2}[/dispmath]

Ajd pre nego što pređemo na sledeći zadatak, prvo ovo da raščistimo...

eseper je napisao:@Daniel, možda je malo konfuzno s tim točkama. Možemo ih slobodno zanemariti. Taj limes tada daje nulu zbog argumenta kosinusa, zar ne? Tj. zbog nazivnika argumenta kosinusa...

Ne, neće limes biti nula zbog argumenta kosinusa, jer, bez obzira na to šta se nalazi u argumentu kosinusa, kosinus će uvek dati vrednost između [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath], što znači, neku vrednost koja je konačna. A pošto se, zatim, ta konačna vrednost množi nekom vrednošću koja teži nuli, tj. izrazom [inlmath]\frac{1}{n^2+2n}[/inlmath], limes će biti nula. Znači, argument kosinusa nam je ovde potpuno nebitan.
Sasvim bi druga stvar bila kada bismo umesto kosinusa imali neku vrednost koja bi težila beskonačnosti. Tada bi se ona množila vrednošću koja teži nuli, pa bismo taj limes morali rešavati nekom drugom tehnikom...

Mislim da smo sada raščistili
Onda je u potpunosti ista situacija za zadatak [inlmath](1)[/inlmath]... rezultat [inlmath]0[/inlmath] je zbog onih [inlmath]n[/inlmath]-ova prije, a ne sinusa... da je pak rezultat "[inlmath]n[/inlmath]-ova" bio neki broj, tada bi onaj sinus bilo zgodno svesti na [inlmath]\lim\limits_{x\to 0}\frac{sinx}{x}[/inlmath]...

Zbunio me prvi zadatak iz ove teme gdje si napisao

Prvi sabirak je očigledno nula, jer imamo deljenje veličinom koja je u intervalu [inlmath]\left[-1,1\right][/inlmath] beskonačno velikom veličinom, [inlmath]n[/inlmath].

Ali, to je kada se površno gleda... sada mi je jasno