Omašio si kod nejednačine. Izraz [inlmath]-2n^5+10n^4+8n^3-4n-2[/inlmath] će, kako se na Wolframovom grafiku vidi, biti pozitivan jedino za [inlmath]n\le5[/inlmath], a već za [inlmath]n\ge6[/inlmath] preći će u negativne vrednosti, tako da će ti rešenje te nejednačine biti [inlmath]n\le5[/inlmath].
Drugo, vidiš i po tome što je koeficijent uz član s najvećim stepenom negativan, da će vrednost tog izraza u beskonačnosti težiti negativnoj beskonačnosti, prema tome, kada [inlmath]n\to\infty[/inlmath] izraz [inlmath]-2n^5+10n^4+8n^3-4n[/inlmath] sigurno neće moči da bude veći od dvojke, jer će težiti ka [inlmath]-\infty[/inlmath].

Evo kako je meni ispalo:
[dispmath]\left|a_n\right|\ge\left|a_{n+1}\right|\\
\frac{\cancel 2n^2}{n^4-n^2+1}\ge\frac{\cancel2\left(n+1\right)^2}{\left(n+1\right)^4-\left(n+1\right)^2+1}[/dispmath]
[inlmath]n^4-n^2+1=n^2\left(n^2-1\right)+1=n^2\left(n+1\right)\left(n-1\right)+1>0\quad\Rightarrow\quad[/inlmath] možemo obe strane pomnožiti tim izrazom bez narušavanja smera nejednakosti.
Isto se pokazuje i za [inlmath]\left(n+1\right)^4-\left(n+1\right)^2+1[/inlmath].
[dispmath]n^2\left[\left(n+1\right)^4-\left(n+1\right)^2+1\right]\ge\left(n+1\right)^2\left(n^4-n^2+1\right)\\
n^2\left(n^4+4n^3+6n^2+4n+1-n^2-2n-\cancel1+\cancel1\right)\ge\left(n^2+2n+1\right)\left(n^4-n^2+1\right)\\
\cancel{n^6}+4n^5+5n^4+2n^3+n^2\ge\cancel{n^6}+2n^5-2n^3+2n+1\\
2n^5+5n^4+4n^3+n^2-2n-1\ge0[/dispmath]
Lako se može pokazati da je ova nejednačina zadovoljena za svako [inlmath]n\ge1[/inlmath] ako se napiše u obliku:[dispmath]2n^5+5n^4+2n^3+2n^3-2n+n^2-1\ge0\\
2n^5+5n^4+2n^3+2n\left(n^2-1\right)+n^2-1\ge0\\
2n^5+5n^4+2n^3+\left(n^2-1\right)\left(2n+1\right)\ge0\\
2n^5+5n^4+2n^3+\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(2n+1\right)\ge0[/dispmath]
Iz ovako napisane nejednačine se vidi da za [inlmath]n\ge0[/inlmath] nijedan sabirak nije negativan, tako da je nejednačina zadovoljena za svako [inlmath]n\ge0[/inlmath].

Zanimljivo. Ovakav zbog svoje specifičnosti odlazi na posebnu stranicu s uskličnikom kao nešto što se lako može pojaviti

Evo jednog sličnog, ali sa značajno manje petljanja i raspisivanja
[dispmath]\sum(-1)^n\frac{2n+1}{n^2+2n}[/dispmath]
[inlmath]\lim=|a_n|=0[/inlmath]

[inlmath]|a_n|\ge|a_{n+1}|[/inlmath]
ja sam dobio [inlmath]2n^2+4n+3\ge0[/inlmath]
iz toga bi proizašlo [inlmath]n\ge0[/inlmath]
red konvergira

Limes je dobar... A i nejednakost...
[dispmath]\sum(-1)^n\frac{2n+1}{n^2+2n}[/dispmath]
Iz [inlmath]|a_n|\ge|a_{n+1}|[/inlmath]:
[dispmath]\frac{2n+1}{n^2+2n}\ge\frac{2(n+1)+1}{(n+1)^2+2(n+1)}\\
\frac{2n+1}{n^2+2n}\ge\frac{2n+3}{n^2+4n+3}[/dispmath]
Kako su [inlmath]n^2+2n[/inlmath] i [inlmath]n^2+4n+3[/inlmath] pozitivni za svaki prirodni broj [inlmath]n[/inlmath]:
[dispmath](2n+1)\left(n^2+4n+3\right)\ge(2n+3)\left(n^2+2n\right)\\
2n^3+8n^2+6n+n^2+4n+3\ge2n^3+4n^2+3n^2+6n\\
2n^2+4n+3\ge0[/dispmath]
što je tačno za svaki prirodni broj [inlmath]n[/inlmath].
Red dakle konvergira...