eseper je napisao:Onda je u potpunosti ista situacija za zadatak [inlmath](1)[/inlmath]... rezultat [inlmath]0[/inlmath] je zbog onih [inlmath]n[/inlmath]-ova prije, a ne sinusa... da je pak rezultat "[inlmath]n[/inlmath]-ova" bio neki broj, tada bi onaj sinus bilo zgodno svesti na [inlmath]\lim\limits_{x\to 0}\frac{sinx}{x}[/inlmath]...

Upravo kao što ti je Milovan i objasnio – da je rezultat "[inlmath]n[/inlmath]-ova" bio neki broj koji teži [inlmath]\infty[/inlmath], a pri tom sinus težio nuli, onda bi trebalo upotrebiti [inlmath]\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}[/inlmath]...
OK, mislim da sad možemo na sledeći zadatak.

eseper je napisao:[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(3n^2+n+1\right)\mathrm{arctg}\left(\frac{1}{n^2}\prod_{{\color{red}n}=2}^{\color{red}\infty}\left(1-\frac{1}{k^2}\right)\right)[/dispmath]

Kao granice proizvoda umesto [inlmath]n=2[/inlmath] treba da stoji [inlmath]k=2[/inlmath], a umesto [inlmath]\infty[/inlmath] treba [inlmath]n[/inlmath]?

eseper je napisao:Rezultat raspisivanja produkta je
[dispmath]\prod_{{\color{red}k}=2}^{\color{red}n}\left(1-\frac{1}{k^2}\right)=\frac{1}{2}\frac{n+1}{n}[/dispmath]

eseper je napisao:[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(3n^2+n+1\right)\mathrm{arctg}\left(\frac{1}{n^2}\frac{n+1}{2n}\right)[/dispmath]
Sada, ako se ne varam, arkus tangens možemo zanemariti jer je njegov argument blizak nuli kada [inlmath]n[/inlmath] teži u [inlmath]\infty[/inlmath]
u tom slučaju
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(3n^2+n+1\right)\frac{n+1}{2n^3}[/dispmath]

Zapravo, „školskiji“ način bi bio sledeći. Prvo pokažemo da je [inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\mathrm{arctg}\:x}{x}=1[/inlmath]:
[dispmath]\lim\limits_{x\to 0}\frac{\mathrm{arctg}\:x}{x}\mathop=^{\mathrm{arctg}\:x=t}\lim\limits_{t\to 0}\frac{t}{\mathrm{tg}\:t}=\lim\limits_{t\to 0}\cancelto{1}{\frac{t}{\sin t}}\cdot\cancelto{1}{\cos t}=1[/dispmath]
mada to i nije neophodno ako vam se na ispitu dopušta da [inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\mathrm{arctg}\:x}{x}=1[/inlmath] koristite kao nešto što je poznato.
Zatim limes napišemo kao
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(3n^2+n+1\right)\mathrm{arctg}\left(\frac{1}{n^2}\frac{n+1}{2n}\right)=\lim_{n\to\infty}\left(3n^2+n+1\right)\cancelto{1}{\frac{\mathrm{arctg}\left(\frac{n+1}{2n^3}\right)}{\frac{n+1}{2n^3}}}\cdot\frac{n+1}{2n^3}[/dispmath]

I sad je dalje sve OK što si radio, s tim što može i elegantnije, tako što u jednom potezu i brojilac i imenical podelimo s [inlmath]n^3[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(3n^2+n+1\right)\cdot\frac{n+1}{2n^3}=\lim_{n\to\infty}\left(3+\cancelto{0}{\frac{1}{n}}+\cancelto{0}{\frac{1}{n^2}}\right)\cdot\frac{1+\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}{2}=\frac{3}{2}[/dispmath]

Dobro je, nejasnoće su razriješene

Daniel je napisao:Kao granice proizvoda umesto [inlmath]n=2[/inlmath] treba da stoji [inlmath]k=2[/inlmath], a umesto [inlmath]\infty[/inlmath] treba [inlmath]n[/inlmath]?

Da, naravno

[dispmath]\lim_{n\to\infty}\quad(7n+\ln n+2)\sin\left(\frac{2}{n}\prod_{k=2}^n\frac{k^2+k-2}{k(k+1)}\right)[/dispmath]
Nešto složeniji produkt čiji bi rezultat trebao biti [dispmath]\frac{n+2}{3n}[/dispmath]
Rješenje: [dispmath]\frac{14}{3}[/dispmath]

Pretpostavljam da ti nije problem da [inlmath]k^2+k-2[/inlmath] svedeš na oblik [inlmath]\left(k-1\right)\left(k+2\right)[/inlmath]. A onda nije problem ni izračunati sumu:
[dispmath]\prod_{k=2}^n\frac{\left(k-1\right)\left(k+2\right)}{k\left(k+1\right)}=\frac{1\cdot 4}{\cancel 2\cdot 3}\cdot\frac{\cancel 2\cdot 5}{\cancel 3\cdot 4}\cdot\frac{\cancel 3\cdot 6}{\cancel 4\cdot 5}\cdots\frac{\cancel{\left(n-2\right)}\left(n+1\right)}{\cancel{\left(n-1\right)}\cdot n}\cdot\frac{\cancel{\left(n-1\right)}\left(n+2\right)}{n\left(n+1\right)}=[/dispmath]
[dispmath]=\frac{\cancel 4}{3}\cdot\frac{\cancel 5}{\cancel 4}\cdot\frac{\cancel 6}{\cancel 5}\cdots\frac{\cancel{\left(n+1\right)}}{\cancel{n}}\cdot\frac{\left(n+2\right)}{n\cancel{\left(n+1\right)}}=\frac{n+2}{3n}[/dispmath]
pa se limes svodi na
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(7n+\ln n+2\right)\sin\frac{2\left(n+2\right)}{3n^2}[/dispmath]
a to je dalje jednako:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(7n+\ln n+2\right)\frac{\sin\frac{2\left(n+2\right)}{3n^2}}{\frac{2\left(n+2\right)}{3n^2}}\cdot\frac{2\left(n+2\right)}{3n^2}=\lim_{n\to\infty}\left(7n+\ln n+2\right)\cancelto{1}{\frac{\sin\cancelto{0}{\left(\frac{2}{3n}+\frac{4}{3n^2}\right)}}{\cancelto{0}{\frac{2}{3n}+\frac{4}{3n^2}}}}\cdot\frac{2\left(n+2\right)}{3n^2}=[/dispmath]
[dispmath]=\lim_{n\to\infty}\left[7n\cdot\frac{2\left(n+2\right)}{3n^2}+\frac{2\left(n+2\right)}{3n^2}\ln n+2\cdot\frac{2\left(n+2\right)}{3n^2}\right]=[/dispmath]
[dispmath]=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{14\left(n+2\right)}{3n}+\frac{2}{3}\cdot\cancelto{0}{\frac{\ln n}{n}}+\frac{4}{3}\cdot\cancelto{0}{\frac{\ln n}{n^2}}+\frac{4\left(n+2\right)}{3n^2}\right]=[/dispmath]
[dispmath]=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{14\left(n+2\right)}{3n}+\frac{4\left(n+2\right)}{3n^2}\right]=\lim_{n\to\infty}\left[\frac{14\left(1+\cancelto{0}{\frac{2}{n}}\right)}{3}+\frac{4\left(\cancelto{0}{\frac{1}{n}}+\cancelto{0}{\frac{2}{n^2}}\right)}{3}\right]=\frac{14}{3}[/dispmath]