Imamo niz [inlmath]2,3,6,11,18\dots[/inlmath]

Obrati pažnju na sledeću pravilnost:
[inlmath]3-2=1=1^2[/inlmath]
[inlmath]6-2=4=2^2[/inlmath]
[inlmath]11-2=9=3^2[/inlmath]
[inlmath]18-2=16=4^2[/inlmath]
[inlmath]\dots[/inlmath]

Primetimo da je [inlmath]n+1[/inlmath]-i član ovog niza:
[dispmath]a_{n+1}=n^2+2[/dispmath]
Odnosno:
[dispmath]a_n=(n-1)^2+2[/dispmath]
Prema tome [inlmath]a_{500}=499^2+2[/inlmath]

Čak i ako ne uspeš da uočiš ovu pravilnost, uvek imaš na raspolaganju i onaj „školski“ način:

Članove niza kojeg formiraju razlike uzastopnih članova niza [inlmath]a_n[/inlmath] obeleži sa [inlmath]b_n[/inlmath]. Tada će važiti:
[dispmath]\begin{array}{l}
a_2=a_1+b_1 \\
a_3=a_2+b_2=a_1+b_1+b_2 \\
a_4=a_3+b_3=a_1+b_1+b_2+b_3 \\
\cdots \\
a_n=a_{n-1}+b_{n-1}=a_1+b_1+b_2+\cdots +b_{n-1}=a_1+\frac{n-1}{2}\left[2b_1+\left(n-2\right)d\right]
\end{array}[/dispmath]
gde je [inlmath]d[/inlmath] – razlika dva uzastopna člana niza [inlmath]b_n[/inlmath], koja ovde iznosi [inlmath]2[/inlmath].

Prema tome,
[dispmath]a_n=a_1+\left(n-1\right)\left(b_1+n-2\right)[/dispmath][dispmath]a_n=2+\left(n-1\right)\left(1+n-2\right)[/dispmath][dispmath]a_n=2+\left(n-1\right)\left(n-1\right)[/dispmath][dispmath]a_n=2+\left(n-1\right)^2[/dispmath]
što je isti rezultat do kojeg je i Milovan došao.

Zasto od svakog clana niza oduzimamo [inlmath]2[/inlmath] kad razlika uzastopnih clanova formira aritmeticki niz? Kako se dobija da [inlmath]a_{n+1}=n^2+2[/inlmath]

To što sam ti ja ponudio je prečica, ako hoćeš "školsko" izvođenje, sledi postupak koji je Daniel dao. Ja samo primetih da su članovi ovog niza za [inlmath]2[/inlmath] veći od kvadrata uzastopnih prirodnih brojeva, zato sam oduzimao [inlmath]2[/inlmath], tek toliko da bih jasnije istakao to njihovo svojstvo. Izdvojena formula je zapravo samo formalni zapis tog svojstva.

Hvala, ocigledno meni sluzi glava samo za sisanje

Prvi, treci i sedmi clan aritmeticke progresije cine prva tri clana geometrijske progresije. Cetvrti clan geometrijske progresije je u aritmetickoj progresiji:
A) [inlmath]10.[/inlmath] clan
b) [inlmath]11.[/inlmath] clan
C) [inlmath]14.[/inlmath] clan
D) [inlmath]15.[/inlmath] clan
e) [inlmath]17.[/inlmath] clan
Imamo
[dispmath]a_1\cdot q=a_1[/dispmath][dispmath]a_1\cdot q^2=a_1+2d[/dispmath][dispmath]a_1\cdot q^6=a_1+6d[/dispmath]
Kako dalje?

Još ranije urađen, ovde.

Inače, nisi dobro postavio. Članove geometrijske progresije moraš obeležiti drugačije od članova aritmetičke progresije, da ih ne bi mešao. Npr. sa [inlmath]g_n[/inlmath].
Drugo, prva tri člana geometrijske progresije nisu [inlmath]g_1\cdot q[/inlmath], [inlmath]g_1\cdot q^2[/inlmath] i [inlmath]g_1\cdot q^6[/inlmath], već [inlmath]g_1[/inlmath], [inlmath]g_1\cdot q[/inlmath] i [inlmath]g_1\cdot q^2[/inlmath].