Još nekoliko konvergencija...
[inlmath](1)[/inlmath]
[dispmath]\sum\left(\sqrt[n]{a}-\sqrt[n+1]{a}\right)\quad (a>0)[/dispmath]
[inlmath](2)[/inlmath]
[dispmath]\sum\frac{n^2}{(\ln n)^n}[/dispmath]
[inlmath](3)[/inlmath]
[dispmath]\sum\frac{1}{\ln(n!)}[/dispmath]
Index stranica ‹ MATEMATIČKA ANALIZA ‹ NIZOVI I REDOVI
Konvergencija reda
Pregled za štampanje • Pregled za štampanje svih postova u temi • 122 Posta
• Stranica 7 od 13 • 1 ... 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ... 13
Re: Konvergencija reda
od Daniel » Petak, 23. Avgust 2013, 21:03
Evo zasad [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(2\right)[/inlmath]:
Razvojem ovog reda lako se može pokazati da on konvergira, čak se može i izračunati ka kojoj vrednosti konvergira:
[dispmath]\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^k\sqrt[n]a-\sqrt[n+1]a=\lim_{k\to\infty}\left(\sqrt[1]a-\cancel{\sqrt[2]a}+\cancel{\sqrt[2]a}-\cancel{\sqrt[3]a}+\cdots+\cancel{\sqrt[k]a}-\sqrt[k+1]a\right)=\lim_{k\to\infty}\left(a-\sqrt[k+1]a\right)=a-1[/dispmath]
Pošto je imenilac dignut na [inlmath]n[/inlmath]-ti stepen, ovde je zgodno primeniti Cauchyjev kriterijum, a pošto je to red s pozitivnim članovima, ispunjen je uslov za primenu tog kriterijuma:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n^2}{\left(\ln n\right)^n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\cancelto{1}{\sqrt[n]n}\right)^2}{\ln n}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln n}=0[/dispmath]
[inlmath]\Rightarrow[/inlmath] red konvegira.
eseper je napisao:[inlmath](1)[/inlmath]
[dispmath]\sum\left(\sqrt[n]{a}-\sqrt[n+1]{a}\right)\quad (a>0)[/dispmath]
Razvojem ovog reda lako se može pokazati da on konvergira, čak se može i izračunati ka kojoj vrednosti konvergira:
[dispmath]\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^k\sqrt[n]a-\sqrt[n+1]a=\lim_{k\to\infty}\left(\sqrt[1]a-\cancel{\sqrt[2]a}+\cancel{\sqrt[2]a}-\cancel{\sqrt[3]a}+\cdots+\cancel{\sqrt[k]a}-\sqrt[k+1]a\right)=\lim_{k\to\infty}\left(a-\sqrt[k+1]a\right)=a-1[/dispmath]
eseper je napisao:[inlmath](2)[/inlmath]
[dispmath]\sum\frac{n^2}{(\ln n)^n}[/dispmath]
Pošto je imenilac dignut na [inlmath]n[/inlmath]-ti stepen, ovde je zgodno primeniti Cauchyjev kriterijum, a pošto je to red s pozitivnim članovima, ispunjen je uslov za primenu tog kriterijuma:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n^2}{\left(\ln n\right)^n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\left(\cancelto{1}{\sqrt[n]n}\right)^2}{\ln n}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln n}=0[/dispmath]
[inlmath]\Rightarrow[/inlmath] red konvegira.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Konvergencija reda
od Daniel » Subota, 24. Avgust 2013, 00:46
eseper je napisao:[inlmath](3)[/inlmath]
[dispmath]\sum\frac{1}{\ln(n!)}[/dispmath]
Nemam trenutno na umu nikakvo pametnije rešenje nego da se primeni isti princip koji je primenjen za red [inlmath]\sum\frac{1}{n\ln n}[/inlmath] u ovom zadatku.
[dispmath]n!<n^n\quad\Rightarrow\quad\ln\left(n!\right)<\ln\left(n^n\right)=n\ln n\quad\Rightarrow\quad\frac{1}{\ln\left(n!\right)}>\frac{1}{n\ln n}>\frac{1}{n\log_2n}>\cdots[/dispmath]
i dalje je sve isto kao u pomenutom zadatku, tako da se na kraju pokazuje da red [inlmath]\sum\frac{1}{\ln\left(n!\right)}[/inlmath] divergira.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Konvergencija reda
od eseper » Nedelja, 25. Avgust 2013, 17:00
Hvala 
Imam još jednu zanimljivu konvergenciju:
[dispmath]\sum 3^{n+1}\,\sin\left[\left(\frac{n+1}{2n+1}\right)^{2n-1}\right][/dispmath]
Ovdje mi odmah pada ma pamet Cauchy, ali što sa ovim sinusom?
Imam još jednu zanimljivu konvergenciju:
[dispmath]\sum 3^{n+1}\,\sin\left[\left(\frac{n+1}{2n+1}\right)^{2n-1}\right][/dispmath]
Ovdje mi odmah pada ma pamet Cauchy, ali što sa ovim sinusom?
Re: Konvergencija reda
od Daniel » Nedelja, 25. Avgust 2013, 18:54
Jeste, hoće ovo [inlmath]3^{n+1}[/inlmath] da navede na Cauchyja, međutim, [inlmath]3^{n+1}[/inlmath] se sasvim lako dâ srediti i D'Alembertom. S druge strane, s ovim sinusom se Cauchy ne može nikako izboriti, tako da tu definitivno mora D'Alembert. Kada [inlmath]n\to\infty[/inlmath], argument sinusa teži nuli preko pozitivnih vrednosti, tako da je vrednost sinusa pozitivna, pa je ovo red s pozitivnim članovima i sme se primeniti D'Alembert, a takođe, budući da argument sinusa teži nuli, znamo šta nam je činiti... 
Treba da ti ispadne [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3}{4}[/inlmath].
Treba da ti ispadne [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3}{4}[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Konvergencija reda
od Daniel » Nedelja, 25. Avgust 2013, 19:23
Da se korigujem... Može ipak i preko Cauchyja... Kad se oslobodiš sinusa koristeći [inlmath]\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1[/inlmath], tada primeniš korenovanje i na trojku i na to što je bilo u argumentu sinusa, pa kad se to sredi i izračuna, dobije se [inlmath]\frac{3}{4}[/inlmath], znači, isti rezultat kao i preko D'Alemberta...
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Konvergencija reda
od eseper » Nedelja, 25. Avgust 2013, 19:25
Po d'Alembertu:
Hmm, a što s eksponentom argumenta sinusa? Ja sam sada sve to raspisivao po [dispmath]\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e[/dispmath], ali tada ispadne samo [inlmath]3[/inlmath] kao rezultat
Sad ću probati preko Cauchy-ja
Hmm, a što s eksponentom argumenta sinusa? Ja sam sada sve to raspisivao po [dispmath]\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e[/dispmath], ali tada ispadne samo [inlmath]3[/inlmath] kao rezultat
Sad ću probati preko Cauchy-ja
Re: Konvergencija reda
od Daniel » Nedelja, 25. Avgust 2013, 19:31
Pa, ne znam zašto ti ispadne [inlmath]3[/inlmath]. 
O'š da ti napišem svoj postupak, ili da ti napišeš svoj?
O'š da ti napišem svoj postupak, ili da ti napišeš svoj?I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Re: Konvergencija reda
od eseper » Nedelja, 25. Avgust 2013, 19:46
Dobio sam [inlmath]\frac{3}{4}[/inlmath] i jednim i drugim kriterijem. Naravno, Cauchy je dosta lakši i manje kompliciraniji u ovom slučaju. Inače, sjetio sam se da sam imao sličan zadatak koji je i bio postavljen na forumu. Malo pogledam i evo ga. Identičan. Zapravo, sinus ovdje služi kao ukras, da bi se zadatak učinio naočigled težim. Evo još jednog zadatka iz ispita i to je najvjerovatnije zadnji što se tiče konvergencije reda
[dispmath]\sum (n!)^2\,\ln\left(1+\frac{2^n}{n^{2n}}\right)[/dispmath]
Ovaj će biti dosta teži
[dispmath]\sum (n!)^2\,\ln\left(1+\frac{2^n}{n^{2n}}\right)[/dispmath]
Ovaj će biti dosta teži
Ko je OnLine
Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 4 gostiju