MATEMANIJA

koliko clanova ima geometrijski niz ciji je poslednji clan [inlmath]1024[/inlmath] ako je zbir prvog i sedmog [inlmath]65[/inlmath] a proizvod treceg i petog [inlmath]64[/inlmath].I sad normalno radim zadatak i kapiram da posto kaze da je poslednji clan [inlmath]1024[/inlmath] da je to onda konacan niz i da vazi [inlmath]|q|<1[/inlmath] , i sad posto se resvajuci zadatak dodje da je [inlmath]b_1=1[/inlmath] i tako kad radim dobijem da je [inlmath]q=2[/inlmath] i odbacim ga, a drugo resenje je [inlmath]b_1=64[/inlmath] i tako dobijem [inlmath]q=\frac{1}{2}[/inlmath] o sa tim resavam ali se tako dobije da je [inlmath]n=-2[/inlmath], sto ne moze, i onda mora da se radi sa [inlmath]q=2[/inlmath], i onda ispada da to nije konacan niz a ima poslednji clan

Ovaj niz svakako ima konačan broj članova, ali na osnovu čega zaključuješ da je onda i [inlmath]|q|<1[/inlmath]?

@jovica, čini mi se da mešaš konačan broj članova niza i konačnu vrednost sume niza kada [inlmath]n\to\infty[/inlmath], ali to nisu isti pojmovi. Za [inlmath]\left|q\right|<1[/inlmath] vrednost sume niza kada [inlmath]n\to\infty[/inlmath] jeste konačna a za [inlmath]\left|q\right|\ge 1[/inlmath] je beskonačna, ali to je nešto sasvim drugo.

I, za [inlmath]q=\frac{1}{2}[/inlmath] dobilo bi se [inlmath]n=-3[/inlmath], a ne [inlmath]n=-2[/inlmath].

aham, jeste pomesao sam ta dva hvala pogresio sam dok sam prepisivao to [inlmath]-2[/inlmath]

Zadatak je: Odredite prvi član i količnik geometrijskog niza ako je:
[dispmath]a_4+a_7=\frac{7}{16}\\
a_3-a_2+a_1=\frac{7}{8}[/dispmath]
Ne mogu dobiti rezultat [inlmath]a_1=\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]q=-\frac{1}{2}[/inlmath]
Može pomoć. Hvala.

Za ovako postavljen zadatak ne dobije se taj rezultat, što se može i proveriti uvrštavanjem vrednosti za [inlmath]a_1[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] u polazne jednačine. Druga jednačina će biti zadovoljena, ali prva neće:
[dispmath]a_4+a_7=a_1q^3+a_1q^6=a_1q^3\left(1+q^3\right)=\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^3\left[1+\left(-\frac{1}{2}\right)^3\right]=\\
=\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{8}\right)\left(1-\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{8}\right)\cdot\frac{7}{8}=-\frac{7}{128}{\color{red}\ne\frac{7}{16}}[/dispmath]

Da, da greška u knjizi, zato ga nisam mogao izračunati.
Može ovaj:

Dva geometrijska niza [inlmath]-64,32,-16\ldots[/inlmath] i [inlmath]\frac{1}{128},\frac{1}{64},\frac{1}{32}\ldots[/inlmath]., imaju neke članove jednake. Odredite zbroj tih članova.

Hvala.

Treba uvek da konkretizuješ pitanje, tj. gde je tačno nastao problem, kako bismo znali i šta tačno da ti odgovorimo. To je i regulisano tačkom 6. Pravilnika ovog foruma.

Odredi prvi član i količnik i jednog i drugog niza, a zatim za svaki od ta dva niza napiši izraz za opšti član (za prvi niz neka to bude [inlmath]a_m[/inlmath], a za drugi [inlmath]b_n[/inlmath], kako bi se razlikovali). Izjednačavanjem tih opštih članova treba da diskutuješ koje uslove brojevi [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] moraju ispunjavati da bi ta dva niza mogla imati jednake članove, a zatim i da odrediš kada će članovi biti jednaki...

http://i57.tinypic.com/2lmthtv.jpg

http://i59.tinypic.com/2q3xfme.jpg
[dispmath]n=7[/dispmath][dispmath]S_n=a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}[/dispmath][dispmath]S_7=2^5\cdot\frac{\left(2^{-2}\right)^6-1}{2^{-2}-1}[/dispmath][dispmath]S_7=2^5\cdot\frac{2^{-12}-1}{2^{-2}-1}[/dispmath][dispmath]S_7=\frac{2^{-7}-2^5}{2^{-2}-1}[/dispmath][dispmath]S_7=\frac{\displaystyle{\frac{1-2^{12}}{2^7}}}{\displaystyle{\frac{1-2^2}{2^2}}}[/dispmath][dispmath]S_7=\frac{1-2^{12}}{2^5\cdot\left(1-2^2\right)}[/dispmath][dispmath]S_7=\frac{2^{12}-1}{2^7-2^2}[/dispmath][dispmath]S_7=\frac{4096-1}{128-4}[/dispmath][dispmath]{\color{blue}S_7=\frac{4095}{124}}[/dispmath]
Rešenje u knjizi nije tako, gde sam porešio. Hvala.

rules.php#f0r12
rules.php#f0r13

---

Imaš dve greške. Prva je ovde:

željko je napisao:[dispmath]S_n=a_1\cdot\frac{q^n-1}{q-1}[/dispmath][dispmath]S_7=2^5\cdot\frac{\left(2^{-2}\right)^{\color{red}6}-1}{2^{-2}-1}[/dispmath]

Pošto je [inlmath]n=7[/inlmath], u eksponentu treba da stoji sedmica umesto šestice.

Druga greška je ovde:

željko je napisao:[dispmath]S_7=\frac{1-2^{12}}{2^5\cdot\left(1-2^2\right)}[/dispmath][dispmath]S_7=\frac{2^{12}-1}{2^7-2^{\color{red}2}}[/dispmath]

Treba [inlmath]2^5[/inlmath] umesto [inlmath]2^2[/inlmath].

Treba na kraju da se dobije [inlmath]S_7=\displaystyle{\frac{5461}{128}}[/inlmath].

---

Inače, kad imaš razlomak [inlmath]\displaystyle{\frac{2^{-7}-2^5}{2^{-2}-1}}[/inlmath], njega ti je lakše da središ tako što i gornji i donji deo razlomka pomnožiš sa [inlmath]2^7[/inlmath]:
[dispmath]\frac{2^{-7}-2^5}{2^{-2}-1}\cdot\frac{2^7}{2^7}=\frac{1-2^{12}}{2^5-2^7}=\cdots[/dispmath]
čime skratiš postupak za nekoliko koraka. Naravno, zbog prethodne greške sa šesticom u eksponentu, nećeš pri ispravnom postupku imati tačno ovakav razlomak, ali ti samo pokazujem princip...

A evo i načina koji sam ja bio zamislio (malo drugačiji od onog u knjizi).

Niz [inlmath]-64,32,-16\ldots[/inlmath] označimo sa [inlmath]a_m[/inlmath], a niz [inlmath]\frac{1}{128},\frac{1}{64},\frac{1}{32}\ldots[/inlmath] sa [inlmath]b_n[/inlmath]. Odmah vidimo da je kod prvog niza [inlmath]a_1=-64[/inlmath] i [inlmath]q_a=-\frac{1}{2}[/inlmath], dok je kod drugog niza [inlmath]b_1=\frac{1}{128}[/inlmath] i [inlmath]q_b=2[/inlmath].
Postavljamo uslov za jednakost [inlmath]m[/inlmath]-tog člana prvog i [inlmath]n[/inlmath]-tog člana drugog niza:
[dispmath]a_m=b_n[/dispmath][dispmath]a_1q_a^{m-1}=b_1q_b^{n-1}[/dispmath][dispmath]\left(-64\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^{m-1}=\frac{1}{128}\cdot 2^{n-1}[/dispmath][dispmath]\left(-2^6\right)\cdot\frac{\left(-1\right)^{m-1}}{2^{m-1}}=2^{-7}\cdot 2^{n-1}[/dispmath][dispmath]\left(-2^6\right)\cdot 2^{1-m}\cdot\left(-1\right)\cdot\left(-1\right)^m=2^{n-8}[/dispmath][dispmath]2^{7-m}\cdot\left(-1\right)^m=2^{n-8}\quad /\cdot 2^{m+8}[/dispmath][dispmath]\left(-1\right)^m\cdot 2^{15}=2^{m+n}[/dispmath]
Pošto je desna strana jednakosti pozitivna, mora biti pozitivna i leva, što znači da [inlmath]\left(-1\right)^m[/inlmath] mora biti pozitivno, odakle sledi da [inlmath]m[/inlmath] mora biti parno. Uz taj uslov,
[dispmath]m+n=15[/dispmath][dispmath]m=15-n[/dispmath]
Pošto važi [inlmath]m\ge 1[/inlmath] i [inlmath]n\ge 1[/inlmath], sledi da je [inlmath]1\le m\le 14[/inlmath]. Uz uslov da je [inlmath]m[/inlmath] parno, uslov jednakosti članova ova dva niza je zadovoljen za sedam vrednosti [inlmath]m[/inlmath], pri čemu je prva od tih vrednosti [inlmath]a_2=32[/inlmath], a odnos dve susedne vrednosti je [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath] (jer biramo svaki drugi član geometrijskog niza čiji je količnik [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]). Prema tome, računamo sumu prvih sedam članova geometrijskog niza čiji je prvi član [inlmath]32[/inlmath], a količnik [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath]:
[dispmath]S_7=32\cdot\frac{1-\displaystyle{\frac{1}{4^7}}}{1-\displaystyle{\frac{1}{4}}}=\cdots =\frac{5461}{128}[/dispmath]

Bravo, sve mi je jasno, to mi je možda i kraći put izračuna. Još jednom Hvala.