MATEMANIJA

Zdravo.
Kako bi otprilike mogao da izgleda zadatak u kojem se traži da se odrede tačke nagomilavanja niza?
I da li se on rešava po nekakvom šablonu ili...?
I da li je "delimična granična vrednost" isto što i tačka nagomilavanja?

Zdravo.

Neki primeri koji meni prvo padaju na pamet su, recimo:
[inlmath]x_n=\left(-1\right)^n[/inlmath] – tačke nagomilavanja su [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath];
[inlmath]x_n=\frac{1}{n}[/inlmath] – tačka nagomilavanja je [inlmath]0[/inlmath];
[inlmath]x_n=\sin\frac{2n\pi}{3}[/inlmath] – tačke nagomilavanja su [inlmath]\frac{\sqrt 3}{2},\quad-\frac{\sqrt 3}{2},\quad 0[/inlmath]
itd...

Što se šablona tiče, sigurno postoje određene podgrupe zadataka iz ove oblasti na koje bi se neki šablon mogao primeniti, ali nemoguće je dati neki recept za, uopšte, celu oblast. Potrebno je, u nekim slučajevima, ipak malo i intuicije.

Za „delimičnu graničnu vrednost“, iskreno, nisam nikad čuo (a, koliko vidim, nije ni Google). Imam neku ideju šta bi možda to moglo značiti, ali da sad ne bih lupao, možeš li navesti neki zadatak gde se taj izraz upotrebljava?

Ovo je iz "Ljaškove" zbirke... (Zbirka zadataka iz matematičke analize 1)

http://s7.postimage.org/6fjxkoi8n/untit ... 1353790257

Uf... Al' si ga usitnio... Ništa se ne vidi...

Uhhh, izvini ) Pogrešan link

Evo ispravke:

http://postimage.org/image/6fjxkoi8n/

E sad je bolje, sad se dâ pročitati.

LM, ipak se taj pojam ne odnosi na ono što sam mislio... Koliko vidim iz ovog konteksta, delimična granična vrednost se odnosi na slučaj kad zadati niz ima više podnizova od kojih svaki ima neku svoju graničnu vrednost i onda granične vrednosti tih podnizova predstavljaju delimične granične vrednosti zadatog niza.
Ali, nadam se da će vremenom na ovaj forum doći i stručniji od mene, pa da će moći ovo da potvrde ili opovrgnu.

Inače, to jesu tačke nagomilavanja, ako se ima u vidu definicija tačke nagomilavanja:
Tačka nagomilavanja [inlmath]a[/inlmath] datog niza je ona tačka u čijoj se svakoj okolini [inlmath]\varepsilon[/inlmath] ([inlmath]\varepsilon>0[/inlmath], tj. [inlmath]\varepsilon[/inlmath] je neki proizvoljno mali broj) nalazi beskonačno mnogo članova tog niza.
Drugim rečima, bez obzira koliko je [inlmath]\varepsilon[/inlmath] mali broj, tj. koliko je ta okolina oko tačke [inlmath]a[/inlmath] mala, uvek će u toj okolini biti beskonačno mnogo članova niza.
U ovom zadatku su [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] tačke nagomilavanja, i to jedine tačke nagomilavanja, a navedeno je i da su to jedine delimične granične vrednosti.

P.S. Sliku možeš slobodno kačiti uz poruku i kao attachment, omogućena je ta mogućnost (uh, kakav pleonazam).

Aha, e super, razumeo sam te sve

Imam još jedno pitanje.

Da li je
[dispmath]\left(3^n\right)^\frac{1}{3}=3[/dispmath]
Kada [inlmath]x\to +\infty[/inlmath].

Ako jeste, kako to?


*1/3 treba da bude u stepenu, tj. da sve zajedno bude treći koren iz 3 na n, samo ne znam zašto neće da "ode gore" :/

[dispmath](3^n)^{1/3}\rightarrow 3[/dispmath]
Pretpostavljam da si mislio kad [inlmath]n[/inlmath] teži [inlmath]\infty[/inlmath], a ne kad [inlmath]x[/inlmath] teži [inlmath]\infty[/inlmath]?

Definitivno ne. Odmah se vidi da za [inlmath]n\to\infty[/inlmath] ceo izraz teži [inlmath]\infty[/inlmath].

[dispmath]\lim\limits_{n\to\infty}\left(3^n\right)^{1/3}=\lim\limits_{n\to\infty}3^{n/3}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(3^{1/3}\right)^n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt[3]3\right)^n[/dispmath]

Pošto je [inlmath]\sqrt[3]3>1[/inlmath], tada je i [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt[3]3\right)^n=\infty[/inlmath].


P.S. Greška u pisanju formule je bila ta, što si [inlmath]1/3[/inlmath] stavio u malu, umesto u vitičastu zagradu. Pišem sad jedno skraćeno uputstvo za Latex kojim ću obuhvatiti sve te često korišćene komande i objaviću uskoro.
* EDIT * Objavljeno ovde.

E da, ne znam zašto tamo piše da teži [inlmath]3[/inlmath] o.O

Moguće da sam i ja loše prepisao, al' nema veze.

Greška u pisanju formule je bila ta, što si [inlmath]1/3[/inlmath] stavio u malu, umesto u vitičastu zagradu.

Ehh, a ja sam probao i obične zagrade i kockaste "[]" :/

Pišem sad jedno skraćeno uputstvo za Latex kojim ću obuhvatiti sve te često korišćene komande i objaviću uskoro.

E super!