MATEMANIJA

Dobro vece jos jednom.

I jos jedan, laksi, zadatak:
Niz [inlmath]a_n[/inlmath] ([inlmath]n[/inlmath] ide od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]\infty[/inlmath]) je zadat rekurentno:
[dispmath]a_{n+1}=a_n\cdot(2-5a_n)\\
a_0=\frac{1}{2014}[/dispmath] Ispitati konvergenciju niza [inlmath]a_n[/inlmath].

Konvergira ka [inlmath]\frac{1}{5}[/inlmath], je l'?

Dakle, pošto će za svako [inlmath]a_n[/inlmath] iz intervala [inlmath]\left(0,\frac{1}{5}\right)[/inlmath] biti [inlmath]a_{n+1}>a_n[/inlmath] (što se vidi s grafika), zaključujemo da je niz u tom intervalu monotono rastući. A pošto takođe s grafika vidimo i to da vrednost nijednog člana niza ne može biti veća od [inlmath]\frac{1}{5}[/inlmath], zaključujemo i da je niz ograničen odozgo, i da vrednost članova niza nikad i ne može izaći iz intervala [inlmath]\left(0,\frac{1}{5}\right)[/inlmath], tj. da je uvek monotono rastući. Prema tome, pošto je monotono rastući i ograničen s gornje strane, konvergentan je i konvergira ka [inlmath]\frac{1}{5}[/inlmath].
I to važi ne samo kada je [inlmath]a_0=\frac{1}{2014}[/inlmath], već i uopšte kada [inlmath]a\in\left(0,\frac{1}{5}\right)[/inlmath]. Prema tome, isti će biti princip određivanja konvergentnosti i naredne godine, kad budu dali [inlmath]a_0=\frac{1}{2015}[/inlmath], kao i kroz dve, kroz tri godine itd.

---

Možeš pokušati, vežbe radi, da odrediš ponašanje niza u sledećim slučajevima:
[inlmath]a_0\in(-\infty,0)\\
a_0=0\\
a_0=\frac{1}{5}\\
a\in\left(\frac{1}{5},\frac{2}{5}\right)\\
a=\frac{2}{5}\\
a\in\left(\frac{2}{5},+\infty\right)[/inlmath]

Hahaha, e odlicno! Hvala lepo, sve je skroz jasno.
A i zanimljiv nacin da se uradi.

Dat je rekurentno zadat niz
[dispmath]a_1=\frac{1}{10},\;a_{n+1}=a_n(2-5a_n),\;n\in\mathbb{N}[/dispmath] Pokazati njegovu konvergentnost i odrediti graničnu vrednost.

U ovom zadatku sam konvergenciju pokušala da dokažem putem matematičke indukcije, ali u trećem koraku za dokaz monotonosti dobijem deo izraza
[dispmath]5(a_{k-1})^2-5(a_k)^2[/dispmath] sa kojim u suštini nisam sigurna šta da radim. Rekla bih da je ceo taj deo manji od [inlmath]0[/inlmath], ali onda mi se to ne uklapa u ostatak dokaza pa mi se čini da negde grešim.
Da li može neko da mi objasni kako mogu da rešim ovaj zadatak?
Unapred se zahvaljujem.

Pogledaj temu: https://forum.matemanija.com/viewtopic.php?f=22&t=1164