MATEMANIJA

u pitanju je sledeca suma
[dispmath]\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^n}\cos{\frac{2n\pi}{3}}[/dispmath]
e sad ja sam zamenila prvih nekoliko vrednosti za [inlmath]n[/inlmath], u nadi da cu da uocim neku pravilnost, ali nista
moze li neka mala pomoc kako bih dosla do resenja, a inace znam da je tacno resenje [inlmath]-\frac{2}{7}[/inlmath]
unapred hvala opet

Nije, tačno rešenje je [inlmath]\frac{5}{7}[/inlmath].
[dispmath]a_n=\frac{1}{2^n}\cos{\frac{2n\pi}{3}}[/dispmath]
Uoči pravilnost:
[dispmath]a_{3k}=\frac{1}{2^{3k}}\cos{\frac{2\cdot\cancel 3k\pi}{\cancel 3}}=\frac{1}{2^{3k}}\cdot 1=\frac{1}{2^{3k}}\\
a_{3k+1}=\frac{1}{2^{3k+1}}\cos{\frac{2\cdot\left(3k+1\right)\pi}{3}}=\frac{1}{2^{3k}\cdot 2}\cos\left(\frac{2\pi}{3}+2k\pi\right)=\frac{1}{2^{3k}\cdot 2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2^{3k}}=-\frac{1}{4}a_{3k}\\
a_{3k+2}=\frac{1}{2^{3k+2}}\cos{\frac{2\cdot\left(3k+2\right)\pi}{3}}=\frac{1}{2^{3k}\cdot 4}\cos\left(\frac{4\pi}{3}+2k\pi\right)=\frac{1}{2^{3k}\cdot 4}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{2^{3k}}=-\frac{1}{8}a_{3k}[/dispmath]
i onda grupiši svaka tri uzastopna člana reda...

pa da li je moguce onda da je wolframalpha pogresio

Moguće jeste (link), ali u ovom slučaju ne.


Biće da si greškom zadala sumu od [inlmath]1[/inlmath] do [inlmath]\infty[/inlmath], umesto od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]\infty[/inlmath].

SAd sam pogledala u knjizi da proverim, i pogresila sam u pisanju ovde.
Suma u zadatku bas ide od [inlmath]1[/inlmath].

Dobro, dešava se... Da, kad suma ide od [inlmath]1[/inlmath], onda rešenje jeste kako si i napisala, [inlmath]-\frac{2}{7}[/inlmath].