Nije mi jasno koja je razlika izmedju Granicne vrednosti i Košijevog niza.

Jednostavno receno, Kosijev niz je onaj niz [inlmath]a_n[/inlmath] ciji su uzastopni clanovi za dovoljno veliko [inlmath]n[/inlmath] proizvoljno blizu. Ako govorimo o realnim nizovima, niz je Kosijev ako vazi:
[dispmath](\forall\varepsilon>0)(\exists n_0\in\mathbb{N})(\forall m, n\in\mathbb{N})(m,n>n_0\Rightarrow |x_m-x_n|<\varepsilon)[/dispmath]
U proizvoljnom metrickom prostoru:
[dispmath](\forall\varepsilon>0)(\exists n_0\in\mathbb{N})(\forall m,n\in\mathbb{N})(m,n>n_0\Rightarrow d(x_m,x_n)<\varepsilon[/dispmath]
Ako je rec o prostoru realnih brojeva sa metrikom definisanom na uobicajen nacin, svaki Kosijev niz je konvergentan, i obratno – svaki konvergentan niz je Kosijev. Medjutim, u proizvoljnom metrickom prostoru jedno od ova dva tvrdjenja ne vazi – svaki konvergentan niz je Kosijev, ali nije svaki Kosijev niz konvergentan.

Dakle, za prostor realnih brojeva i metriku definisanu kao [inlmath]d(x,y)=|x-y|[/inlmath], stvari se poklapaju, ali u drugom metrickom prostoru to ne mora da vazi.

Standardan primer je niz definisan sa: [inlmath]x_0=1,\;x_{n+1}=\frac{x_n+\frac{2}{x_n}}{2}[/inlmath]. Ovaj niz se sastoji od racionanih clanova, a kako [inlmath]n\to\infty[/inlmath] tako [inlmath]a_n\to\sqrt{2}[/inlmath], tj. niz je konvergentan u [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] (a takodje je i Kosijev). E sad, posmatrajmo ovo u metrickom prostoru [inlmath]\mathbb{Q}[/inlmath], sa istim definisanim rastojanjem (metrikom)... Niz je isto Kosijev, ali nije konvergentan – divergira jer [inlmath]\sqrt{2}\not\in\mathbb{Q}[/inlmath].