MATEMANIJA

Potrebna mi je pomoc oko sledeceg zadatka, ako moze neko da me usmeri gde gresim. Hvala!

Odrediti tacke nagomilavanja niza [inlmath]b_n=(-1)^n\cdot a_n+\frac{n^2\cos\frac{n\pi}{2}+n}{3n^2+4}[/inlmath] gde je [inlmath]a_n=\frac{1}{2\cdot 8}+\frac{1}{8\cdot 14}+\cdots +\frac{1}{(6n-4)\cdot (6n+2)}[/inlmath]

Uradim limes za niz [inlmath]a_n[/inlmath] i dobijem vrednost [inlmath]\frac{1}{12}[/inlmath]
[inlmath](-1)^n[/inlmath] razgranicim na dve vrednosti, [inlmath]+1[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath] za parne, odnosno neparne [inlmath]n[/inlmath]. To znaci da prvi sabirak moze da bude [inlmath]\frac{1}{12}[/inlmath] ili [inlmath]\frac{-1}{12}[/inlmath] ?

Ok, dalje:

Najveca zabuna nastaje oko sledeceg dela sa kosinusom. Kada ga ja uradim dobijem sledece:
[inlmath]\cos\frac{n\pi}{2}[/inlmath] moze da bude [inlmath]0[/inlmath] za [inlmath]n=2k-1[/inlmath], zatim moze da bude [inlmath]-1[/inlmath] za [inlmath]4k-2[/inlmath], moze da bude [inlmath]1[/inlmath] za [inlmath]4k[/inlmath].
Tu me najvise buni deo sa ovim [inlmath]n[/inlmath] jednako necemu jer mi se ne poklapa sa resenjima ali mi konacne tacke budu tacne.

Iz ovoga sledi da su tacke nagomilavanja za drugi sabirak [inlmath]0,\frac{1}{3},\frac{-1}{3}[/inlmath], odnosno za ceo niz [inlmath]b_n[/inlmath] tacke su [inlmath]\frac{1}{12},\frac{-1}{4},\frac{5}{12},\frac{-1}{12},\frac{-5}{12},\frac{1}{4}[/inlmath]?

Svaka pomoc je dobrodosla! Hvala!

Ispravno si odredila tačke nagomilavanja oba sabirka. Međutim, da bi odredila tačke nagomilavanje celog niza, ne možeš jednostavno sabirati tačke nagomilavanja ta dva sabirka. Primera radi, [inlmath]\frac{1}{12}[/inlmath] ti je, kao tačka nagomilavanja niza [inlmath]b_n[/inlmath], pogrešan rezultat, tj. niz [inlmath]b_n[/inlmath] nema tu tačku nagomilavanja. Zašto? Zato što si tu tačku nagomilavanja dobila sabiranjem tačke nagomilavanja [inlmath]\frac{1}{12}[/inlmath] prvog sabirka i tačke nagomilavanja [inlmath]0[/inlmath] drugog sabirka, ali previđaš time da tačka nagomilavanja [inlmath]\frac{1}{12}[/inlmath] prvog sabirka potiče od parnih vrednosti [inlmath]n[/inlmath], dok tačka nagomilavanja [inlmath]0[/inlmath] drugog sabirka potiče od neparnih vrednosti [inlmath]n[/inlmath]. Drugim rečima, ne postoje vrednosti [inlmath]n[/inlmath] za koje će istovremeno vrednost prvog sabirka biti u okolini [inlmath]\frac{1}{12}[/inlmath], a vrednost drugog sabirka u okolini nule. Zbog toga te dve vrednosti ne možemo sabirati. Sličan je rezon i za [inlmath]-\frac{5}{12}[/inlmath] i za [inlmath]\frac{1}{4}[/inlmath], koje takođe nisu tačke nagomilavanja niza [inlmath]b_n[/inlmath].

Umesto toga, potrebno je da, pošto je slučaj neparnog [inlmath]n[/inlmath] za prvi sabirak identičan slučaju [inlmath]n=2k-1[/inlmath] za drugi sabirak, a slučaj parnog [inlmath]n[/inlmath] za prvi sabirak sadržan u slučajevima [inlmath]n=4k[/inlmath] i [inlmath]n=4k-2[/inlmath] za drugi sabirak – posmatraš odvojeno slučajeve [inlmath]n=2k-1[/inlmath], [inlmath]n=4k[/inlmath] i [inlmath]n=4k-2[/inlmath] ne zasebno za svaki sabirak, već za niz u celini. Pa onda imamo:

[inlmath]I[/inlmath] slučaj: [inlmath]n=2k-1[/inlmath]:
[dispmath]b_n=-\frac{1}{12}+\frac{\cancelto{0}{\cos\frac{n\pi}{2}}+\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}{3+\cancelto{0}{\frac{4}{n^2}}}\:\to\:-\frac{1}{12}[/dispmath]
[inlmath]II[/inlmath] slučaj: [inlmath]n=4k[/inlmath]:
[dispmath]b_n=\frac{1}{12}+\frac{\overbrace{\cos\frac{n\pi}{2}}^1+\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}{3+\cancelto{0}{\frac{4}{n^2}}}\:\to\:\frac{1}{12}+\frac{1}{3}=\frac{5}{12}[/dispmath]
[inlmath]III[/inlmath] slučaj: [inlmath]n=4k-2[/inlmath]:
[dispmath]b_n=\frac{1}{12}+\frac{\overbrace{\cos\frac{n\pi}{2}}^{-1}+\cancelto{0}{\frac{1}{n}}}{3+\cancelto{0}{\frac{4}{n^2}}}\:\to\:\frac{1}{12}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{4}[/dispmath]

---

I, korigovao bih sledeću formulaciju,

DankaV je napisao:To znaci da prvi sabirak moze da bude [inlmath]\frac{1}{12}[/inlmath] ili [inlmath]\frac{-1}{12}[/inlmath] ?

Prvi sabirak nikad ne može imati neku od te dve vrednosti, sve dok je [inlmath]n[/inlmath] konačno. Umesto toga, pravilno bi bilo reći da prvi sabirak (koji tada, zapravo, predstavlja podniz datog niza) ima tačke nagomilavanja [inlmath]\frac{1}{12}[/inlmath] i [inlmath]\frac{-1}{12}[/inlmath].

Evo da se i ja uključim u raspravu.Pogledao sam ovu temu.Mi smo samo učili ispitivanje monotonosti niza.Ono kako ispitati da li je niz rastajući,strogorastajući,opadajući ili strogoopadajući.Zbunjuje me uopšte šta se traži u ovome zadatku zapravo šta predstavljaju tače nagomilavanja niza?Ako samo neko može to malo da pojasni. A interesuje me!

viewtopic.php?f=22&t=835

(Čudi me da ti pretraga foruma nije dala rezultate...)

Tražio sam nešto po googleu ali nisam mogao da pronađem tu temu.Našao sam nešto sa vukajlije i još nešto ali je to sve slabo. Nisam koristio tu pretragu foruma.Taj link je ono što sam tražio.

Ogromno HVALA! Eto, sve bih radila pogresno, da ne bi vas. Sasvim je logicno da moram da odvojim razlicite slucajeve, ali sam to nekako previdela, suvise sam se koncetrisala na onaj deo oko kosinusa.

Jos jednom hvala!

Taman sam i ja sad iscitala taj tvoj post o tackama nagomilavanja, verovatno je to trebalo da uradim pre zadataka .
Svaka cast na savrsenom objasnjenju one cudne, cudne definicije.

Pregledao sam temu o tački nagomilavanja.I mogu reći da mi je to poprilično jasno.Ali zbunjuje me ovaj limes niza [inlmath]a_n[/inlmath],kako si došla da je on [inlmath]\frac{1}{12}[/inlmath]? Ja to ne mogu nikako da dobijem.

Dakle, opšti član niza [inlmath]a_n[/inlmath] glasi (radi razumljivijeg postupka, dopisaću i treći, kao i pretposlednji sabirak):
[dispmath]a_n=\frac{1}{2\cdot 8}+\frac{1}{8\cdot 14}+\frac{1}{14\cdot 20}+\cdots +\frac{1}{\left(6n-10\right)\cdot\left(6n-4\right)}+\frac{1}{\left(6n-4\right)\cdot\left(6n+2\right)}[/dispmath]
Možemo uočiti to, da u imeniocu svakog od razlomaka razlika činilaca iznosi [inlmath]6[/inlmath], pa to iskoristimo tako što umesto jedinica u brojiocima tih razlomaka pišemo razliku tih činilaca, podeljenu sa [inlmath]6[/inlmath]:
[dispmath]a_n=\frac{\frac{1}{6}\left(8-2\right)}{2\cdot 8}+\frac{\frac{1}{6}\left(14-8\right)}{8\cdot 14}+\frac{\frac{1}{6}\left(20-14\right)}{14\cdot 20}+\cdots +\frac{\frac{1}{6}\left[\left(6n-4\right)-\left(6n-10\right)\right]}{\left(6n-10\right)\cdot\left(6n-4\right)}+\frac{\frac{1}{6}\left[\left(6n+2\right)-\left(6n-4\right)\right]}{\left(6n-4\right)\cdot\left(6n+2\right)}[/dispmath]
Razložimo svaku od tih razlika na po dva nova razlomka:
[dispmath]a_n=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\right)+\frac{1}{6}\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{14}\right)+\frac{1}{6}\left(\frac{1}{14}-\frac{1}{20}\right)+\cdots +\frac{1}{6}\left(\frac{1}{6n-10}-\frac{1}{6n-4}\right)+\frac{1}{6}\left(\frac{1}{6n-4}-\frac{1}{6n+2}\right)[/dispmath]
[inlmath]\frac{1}{6}[/inlmath], kao zajednički za sve sabirke, izvučemo ispred zagrade,
[dispmath]a_n=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{2}-\cancel{\frac{1}{8}}+\cancel{\frac{1}{8}}-\cancel{\frac{1}{14}}+\cancel{\frac{1}{14}}-\cancel{\frac{1}{20}}+\cdots +\cancel{\frac{1}{6n-10}}-\cancel{\frac{1}{6n-4}}+\cancel{\frac{1}{6n-4}}-\frac{1}{6n+2}\right)[/dispmath]
i, nakon svih skraćivanja,
[dispmath]a_n=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{6n+2}\right)[/dispmath][dispmath]\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{12}[/dispmath]

Evo prelgedao sam ovo. Da ti kažem ovo mi ne bi palo na pamet nikada. Mislim na ovo sređivanje niza.Pitanje je što se to mora sređivati? Možda ne razumijem razliku između limesa funkcije i limesa niza. Koliko ja znam razlika je u tome što limes niza mora da teži u beskonačnost.A funkcije može i u neki realan broj. I koliko znam kod niza ne postoji lijeva i desna strana limesa.Barem ja nikada nisam čuo za nju. Ovo te pitam jer ja kada sam tražio limes uvijek mi ispadne [inlmath]0[/inlmath] mislim preko ovoga opšteg člana niza [inlmath]\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{(6n-4)(6n+2)}=0[/inlmath].Ja sam uvijek i dobijao nulu taj netačni rezultat i nije mi jasno što se ne može ovako određivati limes preko opšteg člana limesa mi smo tako u školi uvijek radili.