MATEMANIJA

Prijemni ispit GRF – 9. jul 2014.
5. zadatak

Ako je [inlmath](a_n)[/inlmath] rastuci aritmeticki niz, [inlmath]a_1+a_3+a_5=-12[/inlmath] i [inlmath]a_1a_3a_5=80[/inlmath], onda je [inlmath]a_1[/inlmath] jednako
Odgovor mi kaze [inlmath]-10[/inlmath]

I ja sam ovako radio zadatak:

Napravim sistem od dvije jednacine, to jest:
[dispmath]a_1+a_3+a_5=-12\\
a_1a_3a_5=80[/dispmath] I sad posto svaki clan mogu da izrazim kao [inlmath]a_n=a_1+(n-1)\cdot q[/inlmath] (gdje mi je [inlmath]q[/inlmath] razlika izmedju clanova) odatle dobijem da mi je
[dispmath]a_1+a_1+2q+a_1+4q=-12[/dispmath] (za prvi izraz)
[dispmath]a_1(a_1+2q)(a_1+4q)=80[/dispmath] (za drugi izraz)

Iz prvog, [inlmath]a_1+a_1+2q+a_1+4q=-12[/inlmath] dobijem [inlmath]3a_1+6q=-12[/inlmath], i to je [inlmath]a_1=-\frac{12}{3}-\frac{6q}{3}[/inlmath], i odatle je [inlmath]a_1=-4-2q[/inlmath]

I kada taj dio uvrstim u drugi izraz dobijem,
[dispmath](-4-2q)(-4-2q+2q)(-4-2q+4q)=80\\
(-4-2q)\left(-4\cancel{-2q}\cancel{+2q}\right)(-4-2q+4q)=80\\
(-4-2q)(-4)(-4+2q)=80\\
(16+8q)(-4+2q)=80\\
\left(-64+\cancel{32q}-\cancel{32q}+16q\right)=80\\
-64+16q=80\\
16q=80+64\\
q=\frac{144}{16}\\
q=9[/dispmath] i kada uvrstim [inlmath]q[/inlmath] u onu prvu jednacinu, to jest, [inlmath]a_1=-4-2q[/inlmath], dobijem da mi je [inlmath]a_1=-4-2\cdot9[/inlmath], onda iz toga je [inlmath]a_1=-4-18[/inlmath], i konacno dobijem da je [inlmath]a_1=-22[/inlmath], ali rjesenje govori da je [inlmath]a_1=10[/inlmath]...

Pokusao sam 3 puta da radim ovaj zadatak, i svaki put dobijem [inlmath]-22[/inlmath]... moze li neko da provjeri ili ako sam neki korak pogresno uradio da ispravi, unaprijed hvala

Samo ti dole [inlmath]a_1[/inlmath] nije dobro izracunato.

Treba da bude:
[dispmath]a_1=\frac{-12-6q}{3}[/dispmath] Uradi zadatak do kraja i dobices rezultat [inlmath]-10[/inlmath].

Izvini, dobar ti je [inlmath]a_1[/inlmath].. sta mi bi.. Samo dole kada si mnozio clanove u zagradama treba: [inlmath]8q\cdot2q=16q^2[/inlmath]
Samo to ispravi, sve je dobro osim te male greske.

Naravno, od dva rešenja po [inlmath]q[/inlmath] koja ćeš dobiti, usvajaš ono koje zadovoljava dat uslov da je arimetički niz rastući; ono drugo rešenje po [inlmath]q[/inlmath] odbacuješ.

I, samo jedno zapažanje... Kad si došao do koraka
[dispmath](-4-2q)(-4)(-4+2q)=80[/dispmath] tada ti je bilo lakše i jednostavnije da grupišeš [inlmath](-4-2q)[/inlmath] i [inlmath](-4+2q)[/inlmath], pa je to onda razlika kvadrata, po formuli [inlmath](a-b)(a+b)=a^2-b^2[/inlmath], gde je [inlmath]a=-4[/inlmath] i [inlmath]b=2q[/inlmath], pa to onda postaje
[dispmath](-4)\left(16-4q^2\right)=80\\
\vdots[/dispmath] Da si tako radio, verovatno ti se i ne bi potkrala ta greška s izostavljanjem kvadrata kod [inlmath]q[/inlmath]...

A da, sad sam uradio opet zadatak i vidio sam da sam zaboravio [inlmath]q^2[/inlmath] i onda mi je [inlmath]q=3[/inlmath] i dobijem onda tacno rjesenje.