MATEMANIJA

Potrebna mi je pomoc oko sledeceg zadatka: Tri broja ciji je zbir [inlmath]63[/inlmath] obrazuju opadajucu aritmeticku progresiju. Ako od prvog oduzmemo [inlmath]7[/inlmath], od drugog [inlmath]9[/inlmath], a od treceg [inlmath]5[/inlmath], dobija se geometrijska progresija. Koji su to brojevi?

Clanove geom. progresije sam izrazio preko clanova aritmeticke progresije, a prethodno sam iz zbira clanova aritm. progr. dobio da je [inlmath]a_2=21[/inlmath] odnosno [inlmath]a_1+d=21[/inlmath] . Pokusavao sam dalje nesto da menjam, ubacujem, sisteme, ali nista nisam dobio

ovo je moja ideja
[dispmath]a+b+c=63[/dispmath][dispmath]b-9=\sqrt{(a-7)\cdot(c-5)}[/dispmath]
obzirom da je artimeticki niz to znaci da vrijedi sledece: [inlmath]c-b=b-a=d[/inlmath]

najbolje bi bilo kada bi ovo [inlmath]b[/inlmath] preskocio i ovu trecu jednacinu iskoristio da jednu nepoznatu izrazis preko druge. a kasnije bi dibio sistem jednacina sa dvije nepoznate...

mene jedino buni to zato sto jedan niz raste a drugi opada a imam osjecaj da kada bi ga rijesavao na ovaj nacin da bi ti to bilo potrebno samo na samom kraju da odredis treci clan niz

ali ipak mislim da je ovo tacno zapocet zadatak

srecno!

To bi bilo to. Eventualno, ja bih te tri jednačine odmah postavio na sledeći način:

Maturant je napisao:Tri broja ciji je zbir [inlmath]63[/inlmath]

[dispmath]a+b+c=63\quad\left(1\right)[/dispmath]

Maturant je napisao:obrazuju opadajucu aritmeticku progresiju.

[dispmath]b=\frac{a+c}{2}\;\Rightarrow\;a+c=2b\quad\left(a>b>c\right)\quad\left(2\right)[/dispmath]

Maturant je napisao:Ako od prvog oduzmemo [inlmath]7[/inlmath], od drugog [inlmath]9[/inlmath], a od treceg [inlmath]5[/inlmath], dobija se geometrijska progresija.

[dispmath]\left(b-9\right)^2=\left(a-7\right)\left(c-5\right)\quad\left(3\right)[/dispmath]
I, odmah vidimo da ako jednačinu [inlmath]\left(2\right)[/inlmath] uvrstimo u jednačinu [inlmath]\left(1\right)[/inlmath], možemo lako odrediti [inlmath]b[/inlmath], čiju vrednost ([inlmath]21[/inlmath], kako si i dobio) dalje uvrštavamo u jednačinu [inlmath]\left(3\right)[/inlmath], a [inlmath]c[/inlmath] izrazimo preko [inlmath]a[/inlmath] i rešavamo kvadratnu jednačinu po [inlmath]a[/inlmath]. Odbacujemo ono rešenje kvadratne jednačine koje ne zadovoljava uslov da je aritmetički niz opadajući...

Resio sam zadatak, ali mi nije potpuno jasno. Do sada su svi zadaci iz ove oblasti resavane kao na primer, ovo je opadajuci aritmeticki niz [inlmath]a_3=a_1+d,\;a_2=a_1+d,\;a_1[/inlmath] pa sad preko ovoga ubacujem u geometrijski niz. Shvatio sam drugi [inlmath](2)[/inlmath] uslov da je iz aritmetickog niza, ali nisam siguran za treci [inlmath](3)[/inlmath]?

Razumeo sam kako ide, resio sam jos jedan zadatak slican ovome.

1. Data su cetiri broja od kojih prva tri cine aritmeticku progresiju, a poslednja tri opadajucu geometrijsku progresiju. Odredi ove brojeve ako se zna da je zbir prva dva [inlmath]20[/inlmath], a zbir poslednja dva [inlmath]6[/inlmath].

to su brojevi npr [inlmath]a,b,c,d[/inlmath]
[dispmath]2b=a+c\quad(1)\\
c^2=b\cdot d\quad(2)[/dispmath] [inlmath]a+b=20,\;c+d=6[/inlmath] Dalje sam pokusao preko [inlmath]a[/inlmath] da izrazim medjutim pod korenom bih dobio neki bezveze broj

koliko imas nepoznatih, toliko moras imati i jednacina

niz: [inlmath]a\;b\;c\;d[/inlmath]
[dispmath]a+b=20[/dispmath][dispmath]c+d=6[/dispmath][dispmath]c-b=b-a[/dispmath][dispmath]c^2=b\cdot d[/dispmath]
sada rijesi sistem cetiri jednacine sa cetiri nepoznate

I dobiješ dva para rješenja.Jer je u pitanju opadajuća geometrijska progresija drugo rješenje ne zadovoljava taj uslov.Znači samo prvo je tačno.
[dispmath]a_1=12,\;b_1=8,\;c_1=4,\;d_1=2[/dispmath][dispmath]a_2=\frac{95}{6},\;b_2=\frac{25}{6},\;c_2=-\frac{15}{2},\;d_2=\frac{27}{2}[/dispmath]

Ako te buni kako da rešiš sistem od četiri jednačine s četiri nepoznate, evo načina koji se meni čini najjednostavnijim. Imaš, znači, sistem
[dispmath]\begin{array}{lc}
2b=a+c & \left(1\right)\\
c^2=bd & \left(2\right)\\
a+b=20 & \left(3\right)\\
c+d=6 & \left(4\right)
\end{array}[/dispmath]
Sabereš [inlmath]\left(3\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(4\right)[/inlmath] i dobiješ
[dispmath]a+c+b+d+26[/dispmath][dispmath]a+c=26-b-d[/dispmath]
Zatim to uvrstiš u [inlmath]\left(1\right)[/inlmath]:
[dispmath]2b=26-b-d[/dispmath][dispmath]3b=26-d[/dispmath][dispmath]b=\frac{26-d}{3}[/dispmath]
Zatim to uvrstiš u [inlmath]\left(2\right)[/inlmath]:
[dispmath]c^2=\frac{26-d}{3}\cdot d[/dispmath]
A promenljivu [inlmath]c[/inlmath] napišeš kao [inlmath]6-d[/inlmath], što se dobija iz jednačine [inlmath]\left(4\right)[/inlmath], tako da prethodna jednačina postaje
[dispmath]\left(6-d\right)^2=\frac{26-d}{3}\cdot d[/dispmath]
u kojoj figuriše samo jedna nepoznata, [inlmath]d[/inlmath].
Središ to i dobiješ kvadratnu jednačinu po [inlmath]d[/inlmath], za koju ćeš dobiti dva rešenja, od kojih odbacuješ ono koje ne ispunjava uslov zadatka da poslednja tri broja čine opadajuću geometrijsku progresiju. Kad si odredio [inlmath]d[/inlmath], posle toga je vrlo lako odrediti i [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath].