MATEMANIJA

imam ovaj zadatak - zbir tri uzastopna clana opadajuceg geometrijskog niza je [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath] i jednak je zbiru njihovih reciprocnih vrednosti.

postavim jednakost [inlmath]a+b+c=\frac{3}{2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/inlmath] pa sam menjao [inlmath]a=b_1,\;b=b_1q,\;c=b_1q^2[/inlmath] ali nista ne dobijem

[dispmath]\frac{a}{q}+a+aq=\frac{3}{2}\\
a\left(\frac{1}{q}+1+q\right)=\frac{3}{2}\\
\frac{q}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{aq}=\frac{3}{2}\\
\frac{1}{a}\left(q+1+\frac{1}{q}\right)=\frac{3}{2}\\
a=\frac{1}{a}\\
a^2=1\\
a=\pm1\\
a=-1\\
q+1+\frac{1}{q}=-\frac{3}{2}\\
\left.q+\frac{5}{2}+\frac{1}{q}=0\quad\right/\cdot2q\\
2q^2+5q+2=0\\
q=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot2\cdot2}}{2\cdot2}=\\
\frac{-5\pm\sqrt{25-16}}{4}=\frac{-5\pm\sqrt9}{4}=\\
\frac{-5\pm3}{4}\\
q=\frac{-5+3}{4}=-\frac{2}{2}=-\frac{1}{2}\\
\frac{a}{q}=\frac{-1}{-\frac{1}{2}}=2\\
aq=-1\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}[/dispmath]

Ni ja nisam bas zadovoljan resenjem jer mi je [inlmath]q[/inlmath] negativno.

Nije mi baš jasno šta se traži u tome zadatku da odredim ta tri člana ili da odredim taj niz? Ja sam išo na fazon sistem od 3 jednačine s tri nepoznate.
[dispmath]a+b+c=\frac{3}{2}[/dispmath][dispmath]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{3}{2}[/dispmath][dispmath]b^2=ac[/dispmath]
Na kraju ne dobije se ni rastući ni opadajući geometrijski niz.Upravo zbog toga što je [inlmath]q[/inlmath] negativno.

treba clanovi da se odrede

Potvrđujem rešenje koje su dali prethodnici. Dobije se negativno [inlmath]q[/inlmath], što znači da geometrijski niz nikako ne može biti opadajući, već njegovi članovi naizmenično menjaju znak. Verovatno je greška u samom tekstu zadatka.

pa da, dato je resenje u zbirci da su clanovi [inlmath]2,\:-1,\:\frac{1}{2}[/inlmath]

Da, onda je reč opadajući u tekstu zadatka suvišna.
Treba uvek da uz zadatak napišeš i rešenje koje treba da se dobije (ako ga imaš).

Pozdrav, zanima me zašto je prilikom rešavanja izostavljeno rešenje [inlmath]a=+1[/inlmath], a nakon toga i [inlmath]q=-2[/inlmath]?

bobanex je napisao:[dispmath]a=\pm1\\
a=-1[/dispmath]

bobanex je napisao:[dispmath]q=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot2\cdot2}}{2\cdot2}=\\
\frac{-5\pm\sqrt{25-16}}{4}=\frac{-5\pm\sqrt9}{4}=\\
\frac{-5\pm3}{4}\\
q=\frac{-5+3}{4}=-\frac{2}{2}=-\frac{1}{2}[/dispmath]

vlada1234 je napisao:Pozdrav, zanima me zašto je prilikom rešavanja izostavljeno rešenje [inlmath]a=+1[/inlmath], a nakon toga i [inlmath]q=-2[/inlmath]?

Ako uzmemo da je [inlmath]a=1[/inlmath] i vratimo u jednačinu za [inlmath]q[/inlmath], bit će:
[dispmath]\frac{1}{q}+1+q=\frac{3}{2}[/dispmath][dispmath]2q^2-q+2=0[/dispmath][dispmath]D=1-4\cdot2\cdot2=-15<0[/dispmath] Jer je diskriminanta manja od nule, rješenja za [inlmath]q[/inlmath] neće biti realna, stoga se uzima drugi slučaj da je [inlmath]a=-1[/inlmath].

Ako kasnije uzmemo da je [inlmath]q=\frac{-1}{2}[/inlmath], traženi brojevi će biti: [inlmath]2,-1,\frac{1}{2}[/inlmath].
U slučaju da uzmemo da je [inlmath]q=-2[/inlmath], traženi brojevi će biti: [inlmath]\frac{1}{2},-1,2[/inlmath].

Dakle brojevi su isti, samo su zamijenili mjesta prvi i treći.