MATEMANIJA

Imam dva zadatka čiji deo postupka ne razumem, pa ako može neko da mi pojasni.
1. Zbir prvih [inlmath]n[/inlmath] članova aritmetičke progresije čija je razlika različita od nule jednak je polovini zbira narednih [inlmath]n[/inlmath] članova.
[dispmath]S_n=\frac{1}{2}(S_{2n}-S_n)[/dispmath]
Zašto se u zagradi oduzima [inlmath]S_n[/inlmath]?
2. Odrediti broj članova aritmetičke progresije kod koje je odnos zbira prvih [inlmath]13[/inlmath] prema zbiru poslednjih [inlmath]13[/inlmath] članova jednak [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath], a odnos zbira svih članova bez prva tri prema zbiru svih članova bez poslednja tri člana jednak [inlmath]\frac{4}{3}[/inlmath].
[dispmath]\frac{S_{13}}{S_n-S_{n-13}}=\frac{1}{2}[/dispmath][dispmath]\frac{S_n-S_3}{S_{n-3}}=\frac{4}{3}[/dispmath]

[dispmath]\ldots n-1,\;n,\;n+1,\;n+2\ldots 2n[/dispmath]
tebi je potreban samo zbir clanova od [inlmath]n[/inlmath] do [inlmath]2n[/inlmath], a to ces naci tako sto ces od niza [inlmath]2n[/inlmath] clanova oduzeti niz od [inlmath]n[/inlmath] clanova... (u nekoj drugacijoj situaciji gdje bi ti vise stvari bilo poznato mogla bi formirati niz koji pocinje sa [inlmath](n+1).[/inlmath] elementom prvog niza a zavrsava se sa "[inlmath]2n[/inlmath]-tim" clanom prvog niza, medjutim ti ne mozes izraziti "[inlmath]n[/inlmath]-ti" elemenat niza jer nemas opsti elemenat niza)

Nešto sam se ponovo vratila na ovaj drugi zadatak i sad mi je problem ovaj segment

andrijana_ je napisao:[dispmath]\frac{S_n-S_3}{S_{n-3}}=\frac{4}{3}[/dispmath]

Naime, stalno dobijam [inlmath]6a_1-2a_1n-66d-n^2d+25nd=0[/inlmath], to bi trebalo grupisati da bi se dobila jednačina [inlmath]-2a_1+22d=nd[/inlmath] što ja ne uspevam. Kako da rešim?

Napišeš jednačinu [inlmath]6a_1-2a_1n-66d-n^2d+25nd=0[/inlmath] u sledećem obliku:
[dispmath]2a_1\left(3-n\right)+\left(-66-n^2+25n\right)d=0\\
2a_1\left(3-n\right)-\left(n^2-25n+66\right)d=0[/dispmath]
[inlmath]\left(n^2-25n+66\right)[/inlmath] rastaviš prema formuli [inlmath]ax^2+bx+c=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)[/inlmath] gde su [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] nule tog kvadratnog trinoma:
[dispmath]2a_1\left(3-n\right)-\left(n-3\right)\left(n-22\right)d=0[/dispmath]
Izvučemo faktor [inlmath]\left(n-3\right)[/inlmath]:
[dispmath]\left(n-3\right)\left[-2a_1-\left(n-22\right)d\right]=0\\
n-3=0\quad\lor\quad-2a_1-\left(n-22\right)d=0[/dispmath]
Pošto, po uslovu zadatka, ne može biti [inlmath]n=3[/inlmath], preostaje samo
[dispmath]-2a_1-\left(n-22\right)d=0\\
-2a_1+22d=nd[/dispmath]

---

Prethodni postupak nije neophodan, možeš raditi i na drugi način. Iskoristiš jednačinu [inlmath]a_1+19d=nd[/inlmath] koju si dobila iz prvog uslova zadatka, podeliš obe strane sa [inlmath]d[/inlmath], uvedeš smenu [inlmath]\frac{a_1}{d}=t[/inlmath] i dobiješ [inlmath]t+19=n[/inlmath].

Sada to isto uradiš i s tom drugom jednačinom, [inlmath]6a_1-2a_1n-66d-n^2d+25nd=0[/inlmath] (podeliš obe strane sa [inlmath]d[/inlmath], zatim smena [inlmath]\frac{a_1}{d}=t[/inlmath]) i dobiješ [inlmath]6t-2tn-66-n^2+25n=0[/inlmath]. Uvrstiš u nju [inlmath]t=n-19[/inlmath] (što dobješ iz prve jednačine), čime dobiješ kvadratnu jednačinu po [inlmath]n[/inlmath]. Jedno rešenje te kvadratne jednačine, [inlmath]n=3[/inlmath], odbacuješ, dok drugo rešenje, [inlmath]n=20[/inlmath], usvajaš kao rešenje ovog zadatka.

Pregledao sam sve ovo, imam samo jedno pitanje. Da li je moguće iz jednačine [inlmath]22d-2a_1=nd[/inlmath] izraziti [inlmath]n[/inlmath] bez uvođena smjene? Jer kako god okrenem ne može bez smjene [inlmath]t[/inlmath]?

Odakle li ti dolaze te ideje...
Hvala puno, bas me nervirao zadatak.