Evala

Imam jedan zadatak šta smo na satu prebrzinski rješili. Mislim da se traži površina svih ucrtanih kvadrata unutar trokuta.
Razumim logiku za [inlmath]P_1[/inlmath], ali ovo za [inlmath]P_2[/inlmath] mi nema smisla, a ni ovo iza mi nije baš jasno
Evo slija;

U trouglu na ovaj način dobijamo više „generacija“ kvadrata različitih veličina. Imamo jedan najveći kvadrat, zatim dva kvadrata s upola manjim stranicama od njega, zatim četiri kvadrata s upola manjim stranicama od prethodna dva a četiri puta manjim stranicama od onog jednog najvećeg... Kako nastavljamo dalje, u svakoj sledećoj „generaciji“ ima dva puta više kvadrata nego u prethodnoj, a stranice su im dva puta manje nego stranice prethodnih kvadrata.

Sa [inlmath]P_n[/inlmath] označavamo ukupnu površinu svih kvadrata [inlmath]n[/inlmath]-te veličine.

Onaj najveći kvadrat ima stranicu [inlmath]\frac{a}{2}[/inlmath]. Njegova površina je [inlmath]\left(\frac{a}{2}\right)^2[/inlmath] i to će, ujedno, biti i [inlmath]P_1[/inlmath], tj. ukupna površina kvadrata [inlmath]1.[/inlmath] veličine, budući da je taj kvadrat jedini koji ima tu [inlmath]1.[/inlmath] veličinu.

Sledeća po veličini su dva kvadrata s upola manjim stranicama, tj. stranice su im [inlmath]\frac{a}{4}[/inlmath]. Pošto ih ima dva, ukupna površina kvadrata [inlmath]2.[/inlmath] veličine biće [inlmath]P_2=2\cdot\left(\frac{a}{4}\right)^2[/inlmath].

Tako isto i za sledeće kvadrate po veličini, kojih ima četiri. Njhova stranica je [inlmath]\frac{a}{8}[/inlmath], pa će im ukupna površina biti [inlmath]P_3=4\cdot\left(\frac{a}{8}\right)^2[/inlmath]

Broj kvadrata [inlmath]n[/inlmath]-te veličine biće [inlmath]2^{n-1}[/inlmath], a stranice će im biti [inlmath]\frac{a}{2^n}[/inlmath], pa će im ukupna površina biti [inlmath]P_n=2^{n-1}\cdot\left(\frac{a}{2^n}\right)^2[/inlmath]. Zadatak je da odredimo sumu tog geometrijskog niza.
[dispmath]P_n=2^{n-1}\cdot\left(\frac{a}{2^n}\right)^2=2^{n-1}\cdot\frac{a^2}{2^{2n}}=a^2\cdot 2^{-n-1}[/dispmath]
[dispmath]q=\frac{P_{n+1}}{P_n}=\frac{a^2\cdot 2^{-n-2}}{a^2\cdot 2^{-n-1}}=\frac{1}{2}[/dispmath]
[dispmath]S=\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}P_1\frac{1-q^n}{1-q}=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a}{2}\right)^2\frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^n}{1-\frac{1}{2}}=\left(\frac{a}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{\frac{1}{2}}=\frac{a^2}{2}[/dispmath]
Dobijeni rezultat predstavlja površinu trougla, što se i moglo očekivati, jer kako dodajemo sve sitnije kvadrate, tako i nepopunjen prostor unutar trougla teži nuli, a površina prostora popunjenog kvadratima teži površini trougla, tj. [inlmath]\frac{a^2}{2}[/inlmath].

Daniel je napisao:Sledeća po veličini su dva kvadrata s upola manjim stranicama, tj. stranice su im [inlmath]\frac{a}{4}[/inlmath]. Pošto ih ima dva, ukupna površina kvadrata [inlmath]2.[/inlmath] veličine biće [inlmath]P_2=2\cdot\left(\frac{a}{4}\right)^2[/inlmath].

Tako isto i za sledeće kvadrate po veličini, kojih ima četiri. Njhova stranica je [inlmath]\frac{a}{8}[/inlmath], pa će im ukupna površina biti [inlmath]P_3=4\cdot\left(\frac{a}{8}\right)^2[/inlmath]

To je ključ. Ja sam u startu krivo prepisa s ploče za [inlmath]P_2[/inlmath]
Inače, lakše je rješit zadatak na prvi način kad uvrstiš sve kako treba
[dispmath]P=\left(\frac{a}{2}\right)^2+2\left(\frac{a}{2^2}\right)^2+4\left(\frac{a}{2^3}\right)^2+\cdots[/dispmath]
[dispmath]P=\frac{a^2}{2^2}+\frac{a^2}{2^3}+\frac{a^2}{2^4}+\cdots[/dispmath]
[dispmath]P=\frac{a^2}{2^2}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots\right)[/dispmath]
[inlmath]a_1=1,\;a_2=\frac{1}{2},\;a_3=\frac{1}{4}[/inlmath]
[inlmath]q=\frac{a_3}{a_2}=\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}{2}[/inlmath]
[inlmath]S=\frac{a_1}{1-q}[/inlmath]
[dispmath]P=\frac{a^2}{2^2}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{a^2}{2}[/dispmath]

Imam osjećaj da će opet doći vrime kad će forum malo živnit