MATEMANIJA

[dispmath]z=1+i+i^2+\cdots+i^{4n-1}[/dispmath]
Treba izracunati vrednost ovog zbira [inlmath]z[/inlmath] pri cemu je [inlmath]i[/inlmath] imaginarna jedinica. Koristila sam formulu za zbir kod geometrijske progresije, ali ne dobijam tacno resenje, verovatno zato sto ne znam da odredim ono [inlmath]q^{2n}[/inlmath] kako treba. Resenje je nula.

Razmisljaj na ovaj nacin [inlmath]i^2+i^4=0,\;i^3+i=0[/inlmath] na ovo primjeni i periodicnost [inlmath]i^5=i[/inlmath] itd...

[dispmath]i^n+i^{n+1}+i^{n+2}+i^{n+3}=0[/dispmath]
Ovo mozes lako i dokazati, kod tebe je prvi stepen [inlmath]0[/inlmath] a zadnji [inlmath]4n-1[/inlmath], to je isto kao da je zadnji stepen [inlmath]3[/inlmath] zbog periodicnosti...

Ovo sam sada shvatio, i ponosan sam na sebe hahahaha

Kao prvo ja ovde ne vidim nikakav geometrijski niz.
@sinisa ako možeš da objasniš kako primjenuti te tvoje silne formule iz tri posta na ovo.

Svaki clan se mnozi sa [inlmath]i[/inlmath], a to bi trebalo da je geometrijski niz

I meni je na prvi pogled izgledao kao geometrijski niz gdje je [inlmath]a_1=1[/inlmath] i [inlmath]q=i[/inlmath]. Naravno ako uzmemo ove sabirke kao članove geometrijskog niza. Ali zadnji smeta. Zaprvo šta [inlmath]n[/inlmath] predstavlja u zadnjeme članu?

A na drugi pogled ti vec ne izgleda kao geometrijski niz? Hahahaha

Hajde da ovo razjasnimo:
[dispmath]1,i,i^2,\ldots,i^{4n-1}[/dispmath]
Ovo je niz.
[dispmath]z=1+i+i^2+\cdots+i^{4n-1}[/dispmath]
Ovo je suma članova niza.
Kada bi ovo drugo išlo po [inlmath]n[/inlmath] do beskonačnosti, nazivalo bi se [inlmath]red[/inlmath]. Ovako je to suma članova geometrijske progresije (konačne) i iznosi:
[dispmath]z=\frac{1-i^{4n-1+1}}{1-i}=\frac{1-i^{4n}}{1-i}=0[/dispmath]
Ovo zato što je [inlmath]i^4=1[/inlmath]

Fino si ti dosao do rjesenja, ali otkud to [inlmath]+1[/inlmath]?

Ovo je ok. Primjeno si formulu za sumu [inlmath]n[/inlmath] članova geometrijskog niza. Interesuje me na osnovu čega si zaključio da [inlmath]4n-1+1[/inlmath] predstavlja broj članova koje trebamo sabrati?

Ovako kako je desideri uradio, uradjeno je i u zbirci. Buni me upravo to sto je Sinisa napisao, to sto se gubi [inlmath]-1[/inlmath] i ostaje [inlmath]4n[/inlmath].

to je formula za zbir clanova geometrijskog reda, a ne geometrijskog niza razlika je u [inlmath]+1[/inlmath]... koliko sam ja shvatio ta formula se koristi kada niz pocinje sa [inlmath]a_1[/inlmath] tj sa [inlmath]aq^0[/inlmath]

[dispmath]1+q+q^2+q^3+\cdots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/dispmath]

koja je razlika izmedju reda i niza?

Sinisa je napisao:koja je razlika izmedju reda i niza?

Već si nam to gore objasnio

Evo @Sinisa da ne kopam po knjigama, ovako su mene davno učili, pišem po sećanju i slobodno interpretiram:
Niz predstavlja brojeve nanizane po nekom pravilu, na primer [inlmath]n,n^2,n^3,n^4\cdots[/inlmath]
Red predstavlja sumu članova niza, na primer [inlmath]n+n^2+n^3+n^4+\cdots[/inlmath]

Ipak desideri jasno je sada. Stvar je u tome da indeks elementa predstavlja njegov stepen uvećan za [inlmath]1[/inlmath]. Ko bi rekao da je ovako jednostavno

Sinisa je napisao:Fino si ti dosao do rjesenja, ali otkud to [inlmath]+1[/inlmath]?

Jer je
[dispmath]1+i+i^2+\cdots+i^{4n-1}=\underbrace{i^0+\underbrace{i^1+i^2+\cdots+i^{4n-1}}_{4n-1\mbox{ sabiraka}}}_{4n-1+1\mbox{ sabiraka}}[/dispmath]