MATEMANIJA

Pozdrav...
Kako odrediti opšti član reda (u slučaju kada je red alternirajući, i kada nije)?

Npr. red:
[inlmath]1+5+5^2+\cdots+5^n[/inlmath]

Hvala.

Teško je dati neki univerzalan recept, to zavisi od slučaja do slučaja. Ima i takvih redova kod kojih i nije moguće analitičkim putem doći do formule za opšti član.

Kod ovog tvog konkretnog primera samo treba primeniti formulu za sumu prvih [inlmath]n[/inlmath] članova geometrijskog niza. Kod alternirajućeg reda najčešće je potrebno da sabirke njegovog opšteg člana raspodeliš u dva podniza (u jedan podniz idu pozitivni a u drugi idu negativni sabirci) pa da uočiš može li se za ta dva podniza primeniti neka od formula za sumu niza.

Neke od zanimljivih suma niza imali smo u ovoj i u ovoj temi, baci pogled.

Otpozdrav, @display_error, pre svega dobro nam došao (došla) na forum Matemanija.

Na forumu postoje kvalitetni tutorijali o redovima (i nizovima), kao i detaljno urađeni zadaci u vezi sa redovima (i nizovima).
Moj ti je savet da najpre to ispregledaš, ne linkujem jer pretpostavljam da ćeš se snaći bez ikakvih problema.
Hteo sam da dodatno kažem ponešto osim ovoga što reče naš administrator @Daniel.

1) Uočimo niz brojeva: [inlmath]a_1,a_2,a_3,\ldots,a_n[/inlmath]
2) Ovaj niz ima sumu svojih članova: [inlmath]a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n[/inlmath]
3) Ta suma članova nije red.
4) Red se definiše kao suma beskonačno mnogo članova niza, to jest:
[dispmath]\sum_{n=1}^{\infty}a_n[/dispmath]
5) Opšti član niza je [inlmath]a_n[/inlmath]. Opšti član reda je [inlmath]a_n[/inlmath]. Dakle isto je opšti član niza i opšti član reda, isto se označavaju i isto predstavljaju. Ali nije isto niz i red.
6) Niz parcijalnih suma reda (e ovo se često meša sa opštim članom reda) definiše se na sledeći način:
[dispmath]S_1=a_1\qquad S_2=a_1+a_2\qquad\cdots\qquad S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n[/dispmath]
7) Ako postoji konačna granična vrednost:
[dispmath]S=\lim_{n\to\infty}S_n[/dispmath]
Onda je red konvergentan.

Primer 1: [inlmath]1+5+5^2+\cdots+5^n[/inlmath] predstavlja sumu članova geometrijske progresije i nije red. To je konačna suma i dobija se prema poznatom:
[dispmath]1+5+5^2+\cdots+5^n=\frac{1-5^{n+1}}{1-5}[/dispmath]
Opšti član je [inlmath]a_n=5^n[/inlmath]. Naravno da je bitno naglasiti da je [inlmath]n=0,1,\mbox{itd}[/inlmath]

Primer 2: [inlmath]1,5,5^2,\ldots,5^n[/inlmath] predstavlja niz, to jest nanizane brojeve po nekom pravilu i ništa više. Opšti član je [inlmath]a_n=5^n[/inlmath].

Primer 3:
[dispmath]\sum_{n=0}^{\infty}5^n[/dispmath]
E ovo je red i to divergentan (zašto?)
Opšti član je [inlmath]a_n=5^n[/inlmath].

Naravno da sada možemo pričati i o graničnoj vrednosti niza, i o graničnoj vrednosti niza parcijalnih suma reda, i o sumi reda, a da ne pominjem potreban i dovoljne uslove konvergencije. No ako bilo ko želi da nastavi temu, tu sam.