MATEMANIJA

Imam pitanje u vezi određivanja opšteg oblika (člana) niza. Npr. kada se preko matematičke indukcije vrši dokazivanje nekog iskaza
[dispmath]1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}[/dispmath]
poznate su obe strane jednakosti. Međutim, u matematičkoj analizi mi moramo odrediti opšti oblik niza, tj. problem postaje:
[dispmath]1+2+3+\cdots+n=?[/dispmath]
Kako i da li postoji neki univerzalan način svođenja niza na opši oblik. Imam sledeći primer:
[dispmath]\frac{1}{n}\left(\left(x+\frac{a}{n}\right)^2+\left(x+\frac{2a}{n}\right)^2+\cdots+\left(x+\frac{(n-1)a}{n}\right)^2\right)[/dispmath]
Rešenje imam, ali ne znam kako se vrše transformacije:
[dispmath]\frac{n-1}{n}x^2+2\frac{1+\cdots+(n-1)}{n^2}ax+\frac{1^2+\cdots+(n-1)^2}{n^3}a^2[/dispmath]
Hvala.

display_error je napisao:Međutim, u matematičkoj analizi mi moramo odrediti opšti oblik niza

@display_error,
zašto si onda ovu temu stavio u Algebru?
naravno, ja sam podvukao reč u citatu.
Svejedno, tema je zanimljiva .

Premestio sam u „Nizove i redove“, budući da tema ima više veze s nizovima, nego s algebrom...

display_error je napisao:tj. problem postaje:
[dispmath]1+2+3+\cdots+n=?[/dispmath]

Nisam siguran jesam li tačno razumeo šta je ovde pitanje, ali ako pitaš za izvođenje formule za sumu aritmetičkog niza, to je opisano u ovoj temi.

display_error je napisao:Imam sledeći primer:
[dispmath]\frac{1}{n}\left(\left(x+\frac{a}{n}\right)^2+\left(x+\frac{2a}{n}\right)^2+\cdots+\left(x+\frac{(n-1)a}{n}\right)^2\right)[/dispmath]

Svaki od tih kvadratnih binoma napiši u razvijenom obliku, tj. primeni formulu [inlmath]\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2[/inlmath], a zatim grupiši sabirke sa [inlmath]x^2[/inlmath], sabirke sa [inlmath]x[/inlmath] i sabirke koji ne sadrže [inlmath]x[/inlmath].

display_error je napisao:Rešenje imam, ali ne znam kako se vrše transformacije:
[dispmath]\frac{n-1}{n}x^2+2\frac{1+\cdots+(n-1)}{n^2}ax+\frac{1^2+\cdots+(n-1)^2}{n^3}a^2[/dispmath]

Može se to još malo srediti, na [inlmath]1+\cdots+(n-1)[/inlmath] se može primeniti već pomenuta formula za sumu aritmetičkog niza, a radi sume [inlmath]1^2+\cdots+(n-1)^2[/inlmath] možeš pogledati ovu temu...