MATEMANIJA

Pozdrav,
Imam jedan, verovatno ne toliko zanimljiv ali meni problematican, zadatak koji glasi:
Ispitati konvergenciju u zavisnosti od realnog parametra
[dispmath]\sum_{n=1}^\infty\frac{\cos\bigg(\pi\left(\sqrt[6]{n^6+3n}+n\right)\bigg)}{n^a}[/dispmath]
Naime, receno mi je da treba da koristim Gausov kriterijum, sto je ok posto opsti clan niza je pozitivan za [inlmath]a>1[/inlmath];
nakon toga treba da prebacim u eksponencijalnu formu tu nastaje problem.
Unapred hvala na bilo kakvoj pomoci

Nije jasno da li je Gausov kriterijum preporučen ili zahtevan.
Brojilac opšteg člana teži jedinici, koliko sam video. I to baš jedinici. A kosinus inače ne ide preko jedinice, niti ispod minus jedinice.
Ostaje:
[dispmath]\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^a}[/dispmath]
Ovo je harmonijski red.
Konvergira za [inlmath]a>1[/inlmath] i divergira za [inlmath]a\le1[/inlmath]

Zahtevan... Hvala na odgovoru (logicno resenje naravno).

Onda da vidimo i po Gausovom kriterijumu.

Gausov kriterijum konvergencije:
Dat je red:
[dispmath]\sum_{n=1}^\infty a_n[/dispmath]
Neka je za [inlmath]\lambda \in\mathbb{R}\quad a\in\mathbb{R}\quad\epsilon>0\quad[/inlmath]ispunjeno:
[dispmath]\frac{a_n}{a_{n+1}}=\lambda+\frac{a}{n}+O\left(\frac{1}{n^{1+\epsilon}}\right)[/dispmath]
gde je sa [inlmath]O\left(\frac{1}{n^{1+\epsilon}}\right)[/inlmath] označen ostatak kada [inlmath]n\to\infty[/inlmath]
Tada važi:
Dati red konvergira za [inlmath]\lambda\ge1\quad[/inlmath]i[inlmath]\quad a>1[/inlmath].
Dati red divergira u svim ostalim slučajevima.
Izvor: M. Merkle: Matematička analiza – teorija i hiljadu zadataka

Vratimo se na zadatak. Na osnovu asimptotike imamo, bez smanjenja opštosti:
[dispmath]a_n=\frac{\cos\bigg(\pi\left(\sqrt[6]{n^6+3n}+n\right)\bigg)}{n^a}\sim\frac{\cos\Big(\pi\left(\sqrt[6]{n^6}+n\right)\Big)}{n^a}\sim\frac{\cos\big(\pi\left(n+n\right)\big)}{n^a}\sim\frac{\cos(2n\pi)}{n^a}\sim\frac{1}{n^a}[/dispmath]
Dalje je:
[dispmath]\frac{a_n}{a_{n+1}}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^a=\left(1+\frac{1}{n}\right)^a=1+\frac{a}{n}+O\left(\frac{1}{n^{1+\epsilon}}\right)[/dispmath]
Ovde je primenjena binomna formula, prva dva člana plus ostatak.
Jasno je da, po Gausovom kriterijumu, uzevši [inlmath]\lambda=1\quad[/inlmath]red konvergira samo za [inlmath]\quad a>1[/inlmath].

@apples,
zadatak mi je baš bio interesantan, tako da sam zaboravio da ti poželim dobrodošlicu na forum, što sada činim.
Tek sada videh da su ovo tvoji prvi postovi, no družićemo se još, puno nas je na Matemaniji.
Hajde da razjasnimo sve u vezi s ovim zadatkom.
Ja razumem ako sastavljač zadatka ili profesor zahteva određeni kriterijum, ali ne razumem kada zahtevaju i u okviru tog kriterijuma određeni postupak:

apples je napisao:nakon toga treba da prebacim u eksponencijalnu formu tu nastaje problem

Nije valjda i ovo zahtevano?
Ako jeste, rešićemo i na taj način

Hvala puno! Pa nema potrebe, cak i ono prvo resenje je bilo nekako najprakticnije; sta znam mozda komplikovanjem (i mucenjem ) zeli da "razradi" nase vijuge..

desideri je napisao:Tek sada videh da su ovo tvoji prvi postovi, no družićemo se još, puno nas je na Matemaniji.

Koristio sam vec resurse ovog foruma mnogo puta, pa je red bio i da se u nekom trenutku registrujem i eventualno doprinesem pitanjima (a mozda i odgovorima).