MATEMANIJA

Pozdrav, imam nedoumicu oko zadatka: Izracunati sumu [inlmath]\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{3}{7^n}[/inlmath]. Imam ideju da izvucem trojku ispred sume i da dobijem geometrijski red gde je [inlmath]q=\frac{1}{7}[/inlmath]. Nisam siguran da li treba primeniti formulu [inlmath]\frac{1}{1-q}[/inlmath] ili [inlmath]\frac{q}{1-q}[/inlmath]? Da li bi neko mogao da mi pomogne tj da mi objasni koju od ove dve formule izabrati i zasto? Hvala!

Druga formula, pošto red ide od jedinice.
Evo pojasniću, ali mi molim te napiši formulu za zbir geometrijskog reda. Zaboravih
Ako treba, pišem celu stranicu.
Prva tvoja navedena (i sasvim ispravna) formula je ako red ide od nule.
Kako bi to dokazao, tj. povezao ove dve formule?

Evo i odgovora, slobodno interpretranog, no zapamti ovo dobro:
[dispmath]\sum_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}[/dispmath][dispmath]\sum_{n=1}^\infty q^n=\frac{q}{1-q}[/dispmath]
Prvi red ima veću sumu jer ima jedan (tj. nulti član više. Zamenom [inlmath]n=0[/inlmath] dobijam:
[dispmath]\sum_{n=0}^\infty q^n=q^0+\sum_{n=1}^\infty q^n=1+\frac{q}{1-q}=\frac{1}{1-q}[/dispmath]
Nadam se da je ovo sada jasno. Tvoje je samo: [inlmath]q=\frac{1}{7}[/inlmath]
Uz izbačenu trojku, naravno, kao što si i predložio
Jako je važno znati da geometrijski red konvergira (i uopšte ima neku konačnu sumu) ako je ovaj [inlmath]q[/inlmath] po apsolutnoj vrednosti manji od jedinice.