MATEMANIJA

Treba mi pomoć oko ovog zadatka
Ispitati konvergenciju niza
[dispmath]x_1=\sqrt[3]6[/dispmath][dispmath]x_{n+1}=\sqrt[3]{x_n+6}[/dispmath][dispmath]n\in\mathbb{N}[/dispmath]
Ne znam kako da uradim ovaj zadatak.

Izvinjavam se napravio sam grešku pri upisu, umjesto
[dispmath]\sqrt[3]x[/dispmath]
treba da bude
[dispmath]\sqrt[3]6[/dispmath]

I to mi sada kažeš. A polomih se da uradim zadatak tako kako si ga prvo postavio
Pošto sada nemam vremena, uradiću kasnije ovaj s ispravljenom postavkom. Ako me neko ne preduhitri
Osim toga, koliko je meni poznato, uobičajeno se ispituje konvergencija reda a ne niza. Za niz se obično traži granična vrednost (popularno: limes, ako postoji).
Ako je zaista tako kako si u ispravci napisao, to znači da bi trebalo dokazati da ovaj niz konvergira ili ne, tj. ima konačan limes ili ne, bez traženja te granične vrednosti.
Molim te za pojašnjenje, kao i za tvoje pokušaje (u skladu s Pravilnikom) i eventualni rezultat (ako ga imaš) pa da nastavimo.
Naime, nije mi jasno da li da dokazujem po definiciji granične vrednosti ili da tražim limes
Intuitivno, na osećaj, kada se vade ovi višestruki korenovi, tipa "koren iz korena iz korena..." to konvergira i te kako. Ka čemu?

Evo i potpitanja: Koliko iznosi granična vrednost:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(n^{50000000000}\right)^{\frac{1}{n}}[/dispmath]

desideri je napisao:I to mi sada kažeš. A polomih se da uradim zadatak tako kako si ga prvo postavio

E vala baš. Isti slučaj i kod mene.

Korigovao sam ti naziv teme. „Treba mi pomoć oko ovog zadatka“ nije adekvatan naziv. Molim te, obrati pažnju na tačku 9. Pravilnika.

@desideri Zbog cega te buni postavka zadatka? Kao sto si sam rekao, niz moze da konvergira ili da divergira. Uostalom, to sto si rekao za redove, pa red i jeste jedan niz. Obicno kada se nizovi zadaju rekurentno se resenje zadatka svodi na ispitivanje ogranicenosti i monotonosti datog niza, sto verujem da je i ovde slucaj. Takodje, ne vidim zasto bi bilo zabranjeno naci granicnu vrednost? Naravno, kada mi nadjemo kandidata za tu granicnu vrednost, mi moramo pokazati (da li preko definicije, Kosija, kako god) da to zaista jeste granicna vrednost (i u tom slucaju znamo da dati niz konvergira).

@Daniel Bio bih ti zahvalan kad si vec editovao pocetni post, da zamenis i pocetni uslov, mislim da je tako bolje.

Onomatopeja je napisao:@Daniel Bio bih ti zahvalan kad si vec editovao pocetni post, da zamenis i pocetni uslov, mislim da je tako bolje.

U pravu si, hvala na sugestiji. Učinjeno.

Ne znam zasto se postavljac teme ne javlja, al evo neke male pomoci. Naime, ako bismo pretpostavili da dati niz konvergira, odatle bismo lako nasli da je njegova granicna vrednost [inlmath]2[/inlmath]. Dakle, [inlmath]2[/inlmath] predstavlja kandidata za granicnu vrednost naseg niza. Ako jos dodam da je ovaj niz rastuci, sto je intuitivno jasno, onda bi nam bilo dovoljno (ako zelimo da pokazemo da dati niz konvergira) da je on ogranicen odozgo, u ovom primeru sa [inlmath]2[/inlmath]. Dakle, postavljac zadatka bi trebalo da pokaze da je [inlmath]x_{n+1}>x_n[/inlmath] i [inlmath]x_n<2[/inlmath] za svako [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath]. U tome mu, na primer, matematicka indukcija moze dosta pomoci.

Onomatopeja je napisao:Ne znam zasto se postavljac teme ne javlja

Mislio da će ovde dobiti gotovo rešenje koje će samo prepisati, al' je onda shvatio da ovaj forum služi za učenje, a ne za prepisivanje zadataka.

Onomatopeja je napisao:Ako jos dodam da je ovaj niz rastuci, sto je intuitivno jasno

Valjalo bi još napomenuti da jeste rastući za ovako zadat početni uslov, tj. [inlmath]x_1=\sqrt[3]6[/inlmath], ali, da je prvi član niza bio veći od [inlmath]2[/inlmath], niz bi bio opadajući, što se lako može i pokazati. Dakle, za [inlmath]x_1<2[/inlmath] niz je rastući i ograničen odozgo dvojkom, a za [inlmath]x_1>2[/inlmath] niz je opadajući i ograničen odozdo dvojkom, prema tome, konvergentan je i konvergira ka dvojci bez obzira na vrednost prvog člana tog niza.

@Onomatopeja,
apsolutno se slažem u vezi s ovom dvojkom (ka [inlmath]2[/inlmath] ovaj niz konvergira, tj. to je njegova granična vrednost).
Ja ne volim da se početni zadatak zada onako kako nije originalno postavljen, i tu neka me bilo ko ispravi ako grešim. Ne moram, naravno, biti u pravu. Zašto bi se bilo ko trudio oko zadatka koji nikome nije potreban, iz prostog razloga što je pogrešno nakucan?

E sada za ovo:

Onomatopeja je napisao:@desideri Zbog cega te buni postavka zadatka? Kao sto si sam rekao, niz moze da konvergira ili da divergira. Uostalom, to sto si rekao za redove, pa red i jeste jedan niz.

Ovo podvučeno je previše slobodna interpretacija. Red je suma članova niza, tako je kod velike većine autora. Nije red niz i nikada nije ni bio, po mom mišljenju.

Primer:

• Niz je [inlmath]1,2,3,4,5,6,7,8,\ldots[/inlmath]
• Red je [inlmath]1+2+3+4+5+6+7+8+\cdots[/inlmath]

Niz su brojevi nanizani po nekom pravilu i ništa više. Red je suma članova niza.

p.s. U potpunosti se slažem i s ovim:

Onomatopeja je napisao:Ne znam zasto se postavljac teme ne javlja, al evo neke male pomoci. Naime, ako bismo pretpostavili da dati niz konvergira, odatle bismo lako nasli da je njegova granicna vrednost [inlmath]2[/inlmath]. Dakle, [inlmath]2[/inlmath] predstavlja kandidata za granicnu vrednost naseg niza...

desideri je napisao:@Onomatopeja,
apsolutno se slažem u vezi s ovom dvojkom (ka [inlmath]2[/inlmath] ovaj niz konvergira, tj. to je njegova granična vrednost).
Ja ne volim da se početni zadatak zada onako kako nije originalno postavljen, i tu neka me bilo ko ispravi ako grešim. Ne moram, naravno, biti u pravu. Zašto bi se bilo ko trudio oko zadatka koji nikome nije potreban, iz prostog razloga što je pogrešno nakucan?

Sem onih uvodnih promena, sto je postavljac teme napomenuo u drugom postu, ne mislim da tekst zadatka ima nekih izmena. Tj., u samoj postavci je receno sta se tacno trazi (a to je ispitivanje konvergencije). Ukoliko pak smatras da sam trazio limes, a to se nije trazio, ja to i nisam radio, odnosno, ja sam samo pogledao cemu dati niz moze teziti kako bih znao sa cime da ogranicavam i kako da ispitujem monotonost. Dakle, cilj je bio pokazati da je dati niz ogranicen (i to odozgo) i monotono rastuci, te prema tome i konvergentan. On ce konvergirati ka [inlmath]2[/inlmath], ali to je samo informacija vise, sto se i nije trazilo u samom zadatku.

desideri je napisao:E sada za ovo:

Onomatopeja je napisao:@desideri Zbog cega te buni postavka zadatka? Kao sto si sam rekao, niz moze da konvergira ili da divergira. Uostalom, to sto si rekao za redove, pa red i jeste jedan niz.

+
Ovo podvučeno je previše slobodna interpretacija. Red je suma članova niza, tako je kod velike većine autora. Nije red niz i nikada nije ni bio, po mom mišljenju.

Primer:

• Niz je [inlmath]1,2,3,4,5,6,7,8,\ldots[/inlmath]
• Red je [inlmath]1+2+3+4+5+6+7+8+\cdots[/inlmath]

Niz su brojevi nanizani po nekom pravilu i ništa više. Red je suma članova niza.

Nisam se dobro izrazio, da, red nije niz, ali, red jeste limes (iliti granicna vrednost) odredjenog niza (ako cemo bas da budemo precizni, onda, limes niza parcijalnih suma). Ono sto sam ja hteo da kazem, da je sasvim korektno pitati da se ispituje konvergencija niza, jer, i kad se ispituje konvergencija reda to se svodi na ispitivanje kongergencije odredjenog niza (odnosno niza parcijalnih suma). Dakle, "to mu dodje na isto", svakako se ispituje konvergencija nekog niza.

Isto tako, meni se ne svidja to kako si predstavio red [inlmath]1+2+3+\cdots[/inlmath], jer nije jasno sta predstavljaju te tri tacke? Beskonacno sabiranje? Uf, nezgodno za definisati. Jer, te tri tacke, koji istina mnogi i pisu, ne predstavlja nikakvo beskonacno sabiranje, vec odgovarajuci limes, mada se mi mozemo dogovoriti da kad napisemo tako te tri tacke da smo pod tim mislili odgovarajuci limes. Poceo sam vec previse da baljezgam, al dobro.