MATEMANIJA

Pozdrav svima,evo vraćam se sa malo gradiva matematike 3
Prije nekih 2 sedmice smo radili sume brojnih redova,i razumio sam većinu kako ide i kako se račuma,međutim nikako ne mogu da shvatim stepene brojne redove pa ako neko moze da mi objasni kroz dati primjer bio bih zahvalan :

Naći sumu reda:
[dispmath]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}[/dispmath]

Prvo napiši tu beskonačnu sumu kao limes konačne sume:
[dispmath]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}=\lim_{k\to\infty}\sum_{n=1}^k\frac{n}{2^n}=\lim_{k\to\infty}S_k[/dispmath]
Zatim razvij sumu [inlmath]S_k[/inlmath]:
[dispmath]S_k=\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+\frac{4}{2^4}+\cdots+\frac{k-1}{2^{k-1}}+\frac{k}{2^k}[/dispmath]
Ovu sumu ćeš lako izračunati kao [inlmath]S_k=2S_k-S_k[/inlmath]. Naravno, prethodno napišeš [inlmath]2S_k[/inlmath] u razvijenom obliku, a zatim izvršiš oduzimanje dvostruke vrednosti sume, [inlmath]2S_k[/inlmath], od same sume, [inlmath]S_k[/inlmath]. Dalje ćeš već videti, prilično je očigledno.

Kada si odredio izraz za sumu [inlmath]S_k[/inlmath], zadatu beskonačnu sumu nađeš kao limes tog izraza kada [inlmath]k\to\infty[/inlmath]...

Eh,hvala mnogo na postu

Evo i jednog opšteg pristupa za sumiranje geometrijskog reda:
[dispmath]\sum_{n={\color{red}0}}^{\infty}q^n=\frac{1}{1-q}\qquad\qquad\left|q\right|<1[/dispmath]
E sada je kada se oduzme nulti član:
[dispmath]\sum_{n={\color{red}1}}^{\infty}q^n=\frac{q}{1-q}[/dispmath]
U ovom zadatku imamo [inlmath]q=\frac{1}{2}[/inlmath] i pri tome je:
[dispmath]\sum_{n={\color{red}1}}^{\infty}nq^n=q\sum_{n={\color{red}1}}^{\infty}nq^{n-1}=q\left({\sum_{n={\color{red}1}}^{\infty}q^n}\right)^{\!\color{red}\prime}=\frac{q}{(1-q)^2}[/dispmath]