MATEMANIJA

Pozdrav svima!
Većinu ovih zadataka znam,međutim u ovima što ću navesti uvede nekakvu "caku",nešto sa štimanjem datih članova koje nikako ne mogu skužiti,pa se nadam da neko od vas zna :

Ispitati konvergenciju redova u zavisnosti od parametra [inlmath]a[/inlmath]:
[dispmath]\sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{\frac{1}{n}\cos\frac{1}{n}}-1-\frac{1}{n}\right)^a[/dispmath]
kao i :
[dispmath]\sum_{n=1}^{\infty}\left(\cos\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{\sqrt{n^2-n}}{n}\right)^a[/dispmath]

Da li si pokusao da razvijes te clanove unutar zagrada (razvoj za eksponencijalnu funkciju, kosinus, itd.)? Trebalo bi (nisam racunao, al obicno je tako) da dobijes da se tvoji redovi ponasaju kao [inlmath]\displaystyle\sum\frac{1}{n^p}[/inlmath], a posle je lako. Verujem da je to ispravan put ka resenju (i da je ovaj parametar tu samo da malo zbuni, i nista vise), jer u suprotnom (ako bismo pucali na Dalambera, Gausa i slicno) odnos [inlmath]\displaystyle\frac{a_n}{a_{n+1}}[/inlmath] bi toliko gadno izgledao, da se i plasim da ga zapisem.

Razvijem ja date clanove preko asimptotskih jednakosti,u prvom zadatku dobijem nulu,medjutim asistent na fakultetu prosiri kosinus nekom vrijesnoscu tako da dobije drugacije rijesenje.

Isto uradi u drugom zadatku sa potkorijenom velicinom preko asimptotske jednakosti [inlmath](1+X)^a=1+aX[/inlmath]

Ako dobijes nulu pri razvoju, to znaci da je trebalo da razvijas jos jedan clan vise. Na primer (ne znam, nisam jos konkretno gledao za ovaj primer), ako si koristio razvoj [inlmath]e^x=1+x+o(x)[/inlmath], [inlmath]x\to0[/inlmath], onda je trebalo koristiti [inlmath]e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)[/inlmath] (dakle, clan vise u razvoju). Slicno i za to drugo, umesto [inlmath](1+x)^a=1+ax+o(x)[/inlmath] je verovatno trebalo da koristis [inlmath](1+x)^a=1+ax+{a\choose2}x^2+o(x^2)[/inlmath] kad [inlmath]x\to0[/inlmath].