MATEMANIJA

Zdravo ljudi, treba mi pomoc oko zadatka, pa ako moze neko da mi pomogne.
Potrebno je ispitati konvergenciju reda:
[dispmath]\sum_{n=1}^{\infty}\left(a^{1/n}+a^{-1/n}-2\right)[/dispmath]
U rjesenju stoji
[dispmath]a^{1/n}+a^{-1/n}-2=\frac{\left(a^{1/n}-1\right)^2}{a^{1/n}}\sim\frac{\ln^2a}{n^2}[/dispmath]
Ovo oko [inlmath]\ln[/inlmath]-a ne mogu da shvatim.

Pozdrav @ingteral2000. Kao sto mozes primetiti, tvoj uvodni post se malo razlikuje, i to u tome sto su matematicke formule u drugacijem obliku predstavljene (dodao sam LaTeX kod). Naime, posto ti je ovo prvi post, malo sam zazmurio na tacku 13. iz Pravilnika foruma (u okviru koje ces naci uputstvo za pisanje LaTeX-a na ovom forumu). Dakle, zamolio bih te da procitas dato uputstvo (a i ceo Pravilnik, ako nisi do sada) i da u daljim svojim postovima za pisanje matematickih formula koristis iskljucivo LaTeX.

Takodje, ako sam neku od formula iz tvog posta pogresno interpretirao, zamolio bih te da mi (nam) to i kazes.

Formula je uredu. Ubuduce cu paziti na formule.

Odlicno, kada smo ustanovili da je sve u redu, da predjemo dalje. Naime, da li si upoznat prvo sta oznacava simbol [inlmath]\sim[/inlmath] ?

To znaci da se slicno ponasa

Slicno ponasa (asimptotski), ili ako cemo preciznije da je [inlmath]\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{g(n)}=1[/inlmath] (za tvoju pricu). I nije lose pisati i [inlmath]n\to\infty[/inlmath], kad se pise [inlmath]\sim[/inlmath] (preciznije je). Ja sam siguran da ste izvodili (negde) kako se ponasa eksponencijalna funkcija, a takodje verujem da ces moci da [inlmath]a^{1/n}[/inlmath] predstavis preko eksponencijalne funkcije i da onda primenis prethodno (tj. razvoj za eksponencijalnu). Odatle bi trebalo da sve bude jasno.

Ili ako neces tako, ti onda jednostavno proveri (po definiciji) da li zaista vazi [inlmath]\sim[/inlmath] kad [inlmath]n\to\infty[/inlmath] u tvom konkretnom primeru.

Hvala.

Nisi baš precizno odgovorio Onomatopeji. Mada, nije loše ovo tvoje "slično".
Naime, simbol [inlmath]\sim[/inlmath] čita se kao "tilda" i izvorno je:
[dispmath]a_n\sim b_n\iff\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=c\qquad c=\text{const.}[/dispmath]
Ja bih pre rekao "asimptotski jednako" nego "slično", mada moglo bi i ovo tvoje da prođe.

Kako sad da iskoristim taj razvoj za eksponencijalnu ?

Da se doreknem i primerom:
[dispmath]500n^2+123456789\sim500n^2[/dispmath]
Ova granična vrednost bila bi [inlmath]1[/inlmath], no to nije toliko bitno kao činjenica da red s opštim članom:
[dispmath]a_n\sim c\cdot\frac{1}{n^p}[/dispmath]

• konvergira za [inlmath]p>1[/inlmath]
• divergira za [inlmath]p\le1[/inlmath]

Ovo je poznati drugi poredbeni kriterijum.
I nije bitno koliko je [inlmath]c[/inlmath], samo je bitno da je konstanta, da nije nula ili beskonačno.

I još nešto:
da li su ti poznate granične vrednosti (jako tipične):
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{e^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}}=1[/dispmath]
kao i:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{a^{\frac{1}{n}}-1}{\frac{1}{n}}=\ln a[/dispmath]
Naravno da ovo drugo važi samo uz određen uslov. Koji?
Da li taj uslov postoji u postavci zadatka?

I još malo, pa mislim da ćeš ga rešiti:
[dispmath]a^{\frac{1}{n}}-1\sim\frac{\ln a}{n}[/dispmath]

Uostalom, evo i takoreći do samog kraja:
[dispmath]\left(a^{\frac{1}{n}}-1\right)^2\sim\frac{\ln^2a}{n^2}[/dispmath]
Da li je sada u redu?

Naravno da je uslov [inlmath]a>0[/inlmath].

A da li je [inlmath]a^{\frac{1}{n}}\sim1[/inlmath] ?

I da li je onda:
[dispmath]a_n\sim\ln^2a\cdot\frac{1}{n^2}[/dispmath]
I da li red konvergira?