MATEMANIJA

[dispmath]x_1=3\\
x_{n+1}=\frac{x_n^2}{2}-1[/dispmath]
dokazati da je niz [inlmath](x_n)[/inlmath] definisan sa prethodno navedenim izrazima, da je rastuci i neogranicen

- ne znam uopste kako da pocnem ovaj zadatak, redove smo radili veoma kratko ali se nikad nisam susretao sa ovakvim zadacima... vecinom se trazilo da nadjem opsti clan ili zbir reda, niza itd

Definisanost se lako pokazuje matematičkom indukcijom – prvi član niza jeste definisan, zatim se pokaže da iz definisanosti bilo kog člana niza sledi i definisanost narednog člana niza.

Da je niz rastući lako se dokazuje tako što se prvo pokaže da pretpostavka [inlmath]x_{n+1}-x_n>0[/inlmath] važi kada je [inlmath]x_n>1+\sqrt3[/inlmath], a zatim se indukcijom pokaže da su svi članovi niza veći od [inlmath]1+\sqrt3[/inlmath], iz čega sledi da za svako [inlmath]n[/inlmath] važi [inlmath]x_{n+1}-x_n>0[/inlmath], tj. da niz monotono raste.

Neograničenost pokazuješ svođenjem na kontradikciju. Pretpostavi da niz jeste ograničen. Pošto je već pokazano da je monotono rastući, ako je ograničen odozgo znači da mora postojati njegov limes. Pri određivanju tog limesa dobićeš kvadratnu jednačinu s dva rešenja. Uočićeš da nijedno od ta dva rešenja ne može biti traženi limes, tj. da limes ne postoji – kontradikcija.

Definisanost mogu naci tako sto [inlmath]x_{n+2}[/inlmath] prvo izrazim preko [inlmath]x_{n+1}[/inlmath] pa nakon toga preko [inlmath]x_n[/inlmath]

Kada sam to sredio mogu odrediti za koje [inlmath]x_n[/inlmath] je [inlmath]x_{n+2}>x_{n+1}[/inlmath], zanima me kako sada indukcijom pokazujes da je svaki clan niza veci od [inlmath]1+\sqrt3[/inlmath]... Mislim, kako to da matematicki zapisem? Ja na to gledam ovako : ako je prvi clan veci od [inlmath]1+\sqrt3[/inlmath] tada je naredni clan niza veci od prvog pa je samim tim opet veci od [inlmath]1+\sqrt3[/inlmath] ali ne znam kako to da zapisem... Mozes li mi napisati matematicki zapis kako si dosao do toga? (samo do ovog dijela da je svako [inlmath]x_n[/inlmath] vece od [inlmath]1+\sqrt3[/inlmath])

Ako [inlmath]x_n[/inlmath] tezi beskonacnosti onda i [inlmath]x_{n+1}[/inlmath] tezi beskonacnosti tako je on neogranicen... Mozes li mi napisati taj limes pomocu kojeg si dokazao da je neogranicen?

Sinisa je napisao:Definisanost mogu naci tako sto [inlmath]x_{n+2}[/inlmath] prvo izrazim preko [inlmath]x_{n+1}[/inlmath] pa nakon toga preko [inlmath]x_n[/inlmath]

Pa nakon toga preko [inlmath]x_{n-1}[/inlmath], pa onda preko [inlmath]x_{n-2}[/inlmath], pa preko [inlmath]x_{n-3}[/inlmath]... Može, ako ti je [inlmath]n[/inlmath] neki konkretan, poznat (i razumno mali) broj. Ali, kako ćeš ako je [inlmath]n[/inlmath] opšti broj kao što u ovom slučaju jeste?
Princip indukcije je jasan. Očigledno je da je prvi član niza definisan. To je baza indukcije. Pokaži zatim da iz definisanosti člana [inlmath]x_n[/inlmath] sledi i definisanost člana [inlmath]x_{n+1}[/inlmath].

Sinisa je napisao:zanima me kako sada indukcijom pokazujes da je svaki clan niza veci od [inlmath]1+\sqrt3[/inlmath]... Mislim, kako to da matematicki zapisem? Ja na to gledam ovako : ako je prvi clan veci od [inlmath]1+\sqrt3[/inlmath] tada je naredni clan niza veci od prvog pa je samim tim opet veci od [inlmath]1+\sqrt3[/inlmath] ali ne znam kako to da zapisem... Mozes li mi napisati matematicki zapis kako si dosao do toga? (samo do ovog dijela da je svako [inlmath]x_n[/inlmath] vece od [inlmath]1+\sqrt3[/inlmath])

Dakle, prvi član je veći od [inlmath]1+\sqrt3[/inlmath], to je baza indukcije:
[dispmath]x_1=3>1+\sqrt3[/dispmath]
Sada indukcijska pretpostavka:
[dispmath]x_n>1+\sqrt3[/dispmath]
Indukcijski korak:
[dispmath]x_{n+1}=\frac{x_n^2}{2}-1>\frac{\left(1+\sqrt3\right)^2}{2}-1=\frac{1+2\sqrt3+3}{2}-1=\frac{4+2\sqrt3}{2}-1=\frac{\cancel2\left(2+\sqrt3\right)}{\cancel2}-1=1+\sqrt3\\
\Rightarrow\quad x_{n+1}>1+\sqrt3[/dispmath]
Nemoj mi reći da ovo ti nisi umeo...

Sinisa je napisao:Ako [inlmath]x_n[/inlmath] tezi beskonacnosti onda i [inlmath]x_{n+1}[/inlmath] tezi beskonacnosti tako je on neogranicen... Mozes li mi napisati taj limes pomocu kojeg si dokazao da je neogranicen?

Ovde ti pokušavaš da iz jedne pretpostavke koju nisi dokazao ([inlmath]x_n\to\infty[/inlmath]) dokazuješ drugu ([inlmath]x_{n+1}\to\infty[/inlmath]).

Pretpostavimo, dakle, suprotno, tj. da niz jeste ograničen odozgo. Pošto je već pokazano da je rastući, sledi da će, ako je ograničen odozgo, imati limes. Taj limes se može naći iz rekurentne relacije:
[dispmath]x_{n+1}=\frac{x_n^2}{2}-1\quad\Rightarrow\quad x_n^2-2x_{n+1}-2=0\\
\lim_{n\to\infty}\left(x_n^2-2x_{n+1}-2\right)=0\quad\Rightarrow\quad\lim_{n\to\infty}x_n^2-2\lim_{n\to\infty}x_{n+1}-2=0[/dispmath]
Ako sada limes ovog niza obeležimo sa [inlmath]a[/inlmath],
[dispmath]a^2-2a-2=0\\
\vdots\\
a_{1,2}=1\pm\sqrt3[/dispmath]
Pošto je već pokazano da je svaki član niza veći od [inlmath]1+\sqrt3[/inlmath] i da je niz rastući, to on ne može konvergirati ni ka [inlmath]1-\sqrt3[/inlmath], ni ka [inlmath]1+\sqrt3[/inlmath] (već samo ka nekoj vrednosti koja je strogo veća od [inlmath]1+\sqrt3[/inlmath]), tako da oba rešenja za limes odbacujemo, čime zaključujemo da limes ne postoji. Kontradikcija.

Ja sam indukciju do sad koristio samo da dokazem da je neki broj paran ili nesta tome slicno i to sam radio tako sto tu tvrdnju dokazem za neki [inlmath]n[/inlmath]-ti clan a kasnije i za [inlmath](n+1)[/inlmath]-ti clan... Pa bih te zamolio da mi napises kako da iz definisanosti [inlmath]n[/inlmath]-tog clana dokazem i definisanost [inlmath](n+1)[/inlmath]-tog u ovom nizu jer se do sada nikad nisam susretao sa nizovima kao ni sa indukcijom nizova... Pokusao sam naci na internetu zadatak slican ovom ali nisam uspio.

1. Baza indukcije: [inlmath]x_1=3[/inlmath] – jeste definisano
2. Indukcijska pretpostavka: [inlmath]x_n[/inlmath] je definisano
3. Indukcijski korak: [inlmath]x_{n+1}=\frac{x_n^2}{2}-1[/inlmath] – pošto je [inlmath]x_n[/inlmath] definisano, biće definisano i [inlmath]x_n^2[/inlmath], odatle će biti definisano i [inlmath]\frac{x_n^2}{2}[/inlmath], a samim tim će biti definisano i [inlmath]\frac{x_n^2}{2}-1[/inlmath]. Dakle, [inlmath]x_{n+1}[/inlmath] je definisano.

Mislim, Siniša, stvarno...