MATEMANIJA

Dokazati da je
[dispmath]x^{2n}-1=(x^2-1)\prod\limits_{k=1}^{n-1}\Bigl(x^2-2x\cos\frac{k\pi}{n}+1\Bigr),[/dispmath]
pa na osnovu toga izracunati [inlmath]\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{2n}[/inlmath].

zamolio bih nekoga da mi objasni kako krenuti ovaj zadatak i da mi kaze koji bi bio prikladan naziv za ovu temu jer se nikad nisam susretao sa ovakvim zadacima, prito tome da naglasim da smo na fakultetu dobili zadacu sa ovim zadacima a nikad slicno nista nismo radili pa cak ni ovu oblast obradjivali

Neka je [inlmath]t=x^2[/inlmath]. Tada je [inlmath]x^{2n}-1=t^n-1[/inlmath]. Kako su sve nule polinoma [inlmath]t^n-1[/inlmath] date sa [inlmath]\displaystyle t=\cos\Bigl(\frac{2\pi k}{n}\Bigr)+i\sin\Bigl(\frac{2\pi k}{n}\Bigr)=\exp\Bigl(\frac{2\pi ik}{n}\Bigr)[/inlmath] za [inlmath]k=0,\ldots,n-1[/inlmath], to onda zbog jedinstvenosti faktorizacije polinoma dobijamo [inlmath]\displaystyle t^n-1=\prod_{k=0}^{n-1}\biggl(t-\exp\Bigl(\frac{2\pi ik}{n}\Bigr)\biggr)[/inlmath], a samim tim i
[dispmath]x^{2n}-1=\prod_{k=0}^{n-1}\biggl(x^2-\exp\Bigl(\frac{2\pi ik}{n}\Bigr)\biggr)=\prod_{k=0}^{n-1}\biggl(x-\exp\Bigl(\frac{i\pi k}{n}\Bigr)\biggr)\biggl(x+\exp\Bigl(\frac{i\pi k}{n}\Bigr)\biggr)=\\
=\prod_{k=0}^{n-1}\biggl(x-\exp\Bigl(\frac{i\pi k}{n}\Bigr)\biggr)\biggl(x-\exp\Bigl(-\frac{i\pi(n-k)}{n}\Bigr)\biggr),[/dispmath]
gde smo iskoristili da je [inlmath]\displaystyle\exp\Bigl(\frac{i\pi k}{n}\Bigr)=-\exp(-i\pi)\exp\Bigl(\frac{i\pi k}{n}\Bigr)=-\exp\Bigl(-\frac{i\pi(n-k)}{n}\Bigr)[/inlmath].
Takodje, obratimo paznju kako [inlmath]k[/inlmath] prolazi [inlmath]0,1,\ldots, n-1[/inlmath], to [inlmath]n-k[/inlmath] prolazi [inlmath]n,n-1,\ldots,1[/inlmath] (odnosno [inlmath]1,2,\ldots,n[/inlmath]), te dalje dobijamo
[dispmath]\prod_{k=0}^{n-1}\biggl(x-\exp\Bigl(\frac{i\pi k}{n}\Bigr)\biggr)\biggl(x-\exp\Bigl(-\frac{i\pi(n-k)}{n}\Bigr)\biggr)=\prod_{k=0}^{n-1}\biggl(x-\exp\Bigl(\frac{i\pi k}{n}\Bigr)\biggr)\prod_{k=1}^n\biggl(x-\exp\Bigl(-\frac{i\pi k}{n}\Bigr)\biggr)=\\
=(x^2-1)\prod_{k=1}^{n-1}\biggl(x-\exp\Bigl(\frac{i\pi k}{n}\Bigr)\biggr)\biggl(x-\exp\Bigl(-\frac{i\pi k}{n}\Bigr)\biggr),[/dispmath]
gde smo faktor [inlmath]x^2-1[/inlmath] dobili kada smo pomnozili [inlmath]x-1[/inlmath] (iz prvog proizvoda, za [inlmath]k=0[/inlmath] je [inlmath]\displaystyle\exp\Bigl(\frac{i\pi k}{n}\Bigr)=1[/inlmath]) i [inlmath]x+1[/inlmath] (iz drugog proizvoda, za [inlmath]k=n[/inlmath] je [inlmath]\displaystyle\exp\Bigl(-\frac{i\pi k}{n}\Bigr)=-1[/inlmath]).
Sada je jasno da dobijamo trazeni rezultat, s obzirom na to da je
[dispmath]\biggl(x-\exp\Bigl(\frac{i\pi k}{n}\Bigr)\biggr)\biggl(x-\exp\Bigl(-\frac{i\pi k}{n}\Bigr)\biggr)=x^2-x\biggl(\exp\Bigl(\frac{i\pi k}{n}\Bigr)+\exp\Bigl(-\frac{i\pi k}{n}\Bigr)\biggr)+1=x^2-2x\cos\frac{k\pi}{n}+1.[/dispmath]
Za drugi deo zadatka (koji se jasno dobija iz prvog dela), potrebno je samo prepoznati vezu izmedju [inlmath]\displaystyle\sin\frac{k\pi}{2n}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle x^2-2x\cos\frac{k\pi}{n}+1[/inlmath] za zgodno izabrano [inlmath]x[/inlmath] (a verovatno nam formula [inlmath]2\sin^2\xi=1-\cos 2\xi[/inlmath] daje odgovor i na to pitanje). Taj deo za domaci.

[inlmath]x^{2n}-1=\left(x^2-1\right)\prod\limits_{k=1}^{n-1}\left((x-1)^2+\left(2\sin\frac{k\pi}{2n}\right)^2\right)[/inlmath] ne znam kako da odavde izrazim ovo [inlmath]\displaystyle\prod\limits_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{2n}[/inlmath]

Pa primeti da ako je [inlmath]x=1[/inlmath] onda ti je izraz u zagradi dosta slican onom sto se trazi. Naravno, ovde pravi problem sto ako stavimo [inlmath]x=1[/inlmath] onda nam sve ode u nulu. No dobro, za pocetak je jasno da vazi
[dispmath]\frac{x^{2n}-1}{x^2-1}=\prod_{k=1}^{n-1}\biggl((x-1)^2+x\Bigl(2\sin\frac{k\pi}{2n}\Bigr)^{\!2}\biggr),\quad x\neq\pm1.[/dispmath]
Posto mi fakticki zelimo da stavimo [inlmath]x=1[/inlmath], a ne smemo, to onda umesto toga potrazimo limes [inlmath]x\to1[/inlmath] (dakle, [inlmath]x[/inlmath] tezi jedinici sa obe strane, ali nije jednako jedan, te je sve korektno). Tada dobijamo
[dispmath]\lim_{x\to1}\frac{x^{2n}-1}{x^2-1}=\lim_{x\to1}\prod_{k=1}^{n-1}\biggl((x-1)^2+x\Bigl(2\sin\frac{k\pi}{2n}\Bigr)^{\!2}\biggr).[/dispmath]
Leva strana je
[dispmath]\lim_{x\to1}\frac{x^{2n}-1}{x^2-1}=\lim_{x\to1}(1+x^2+x^4+\cdots+x^{2(n-1)})=n,[/dispmath]
dok je desna jednaka
[dispmath]\lim_{x\to1}\prod_{k=1}^{n-1}\biggl((x-1)^2+x\Bigl(2\sin\frac{k\pi}{2n}\Bigr)^{\!2}\biggr)=\prod_{k=1}^{n-1}\lim_{x\to1}\biggl((x-1)^2+x\Bigl(2\sin\frac{k\pi}{2n}\Bigr)^{\!2}\biggr)=\\
=\prod_{k=1}^{n-1}\Bigl(2\sin\frac{k\pi}{2n}\Bigr)^{\!2}=2^{2(n-1)}\prod_{k=1}^{n-1}\Bigl(\sin\frac{k\pi}{2n}\Bigr)^{\!2}.[/dispmath]
Sad bi trebalo da je lako dovrsiti zadatak, koristeci [inlmath]\displaystyle\prod_{k=1}^{n-1}(a_k)^2=\biggl(\prod_{k=1}^{n-1}a_k\biggr)^{\!2}.[/inlmath]

EDIT: takodje, primeti da ti fali jedno [inlmath]x[/inlmath] u tvom izrazu (uporedi sa mojim).

Hvala puno na odgovorima, ja se izvinjavam sto nisam uspio uraditi domaci zadatak koji si mi dao u prvom postu