MATEMANIJA

Potrebno je ispitati da li je niz [inlmath](a_n)[/inlmath] monoton. Dat je niz [inlmath](a_n)[/inlmath] preko formule opšteg člana: [inlmath]a_n=\sqrt{n^2+7n-6}-\sqrt{n^2+3n+1}[/inlmath]
Našla sam da limes niza iznosi [inlmath]2[/inlmath] i odredila prvi član. Kako je prvi član niza manji od limesa, pretpostavila sam da je niz monotono rastući. Što znači sledeće: [inlmath]a_{n+1}>a_n[/inlmath]
[dispmath]\sqrt{(n+1)^2+7(n+1)-6}-\sqrt{(n+1)^2+3(n+1)+1}>\sqrt{n^2+7n-6}-\sqrt{n^2+3n+1}[/dispmath]
Problem je što se poprilično zakomplikuje i ne uspevam da rešim. Ako može pripomoć da mi se ukaže gde grešim?

Pozdrav, pa di si ti?

Ja ovo ne bih dokazivao preko [inlmath]a_n[/inlmath] i [inlmath]a_{n+1}[/inlmath] (što kažeš, mnogo se zakomplikuje), već bih posmatrao funkciju analognu ovom nizu, [inlmath]f\left(x\right)=\sqrt{x^2+7x-6}-\sqrt{x^2+3x+1}[/inlmath], a zatim bih pokazao da je za [inlmath]x\ge1[/inlmath] njen prvi izvod uvek pozitivan, tj. da je funkcija monotono rastuća. A čim je ta funkcija monotono rastuća, tada je i početni niz, koji se dobija njenom diskretizacijom, takođe monotono rastući.

(Pretpostavljam da si ispitala nenegativnost potkorenih veličina.)

Kakav admin koji pamti svakog člana ili nas što smo mnogo dosađivali
Da sumiram, u principu postupak je da nađem prvi izvod i onda probam na primer za broj [inlmath]1[/inlmath]. Loše pretpostavljaš, ispitaću. Nisam znala za ovo, hvala.

andrijana_ je napisao:Da sumiram, u principu postupak je da nađem prvi izvod i onda probam na primer za broj [inlmath]1[/inlmath].

Moguće da nisam najbolje objasnio. Ništa ne isprobavaš za broj [inlmath]1[/inlmath], već treba da pokažeš da je prvi izvod pozitivan za ceo interval [inlmath]x[/inlmath] u kojem se nalazi i [inlmath]n[/inlmath], a to je interval [inlmath]\left[1,+\infty\right)[/inlmath].
Za ovu funkciju ćeš dobiti da joj je prvi izvod pozitivan za sve intervale u kojima je ta funkcija definisana (tj. u kojima su potkorene veličine nenegativne), a na celom intervalu [inlmath]\left[1,+\infty\right)[/inlmath], koji nama i jeste bitan, funkcija će biti definisana. Ostali intervali nas ne interesuju.

Razumela sam šta si objasnio, nego sam mislila da mogu da dokažem da je prvi izvod pozitivan za interval tako što ću ispitati za neki broj iz tog intervala.