MATEMANIJA

Izvinjavam se ako sam promasio oblast za zadatke, meni je ovaj deo izgleda najprikladnije.

Niz je definisan na sledeci nacin [inlmath]f_0=f_1=1[/inlmath] i [inlmath]f_{n+2}=f_{n+1}+f_n[/inlmath] u zadatku potrebno je dokazati da [inlmath]f_n\le(1.7)^n[/inlmath] .

Pitanje koje mene muci jeste drugi deo zadatka koji glasi da li postoji realan broj [inlmath]r[/inlmath] manji od [inlmath]1.7[/inlmath] takav da za svaki prirodan broj [inlmath]n[/inlmath] vazi [inlmath]f_n\le r^n[/inlmath].

Ono sto znam za fibonacijev niz jeste da limes kolicnika dva clana daje [inlmath]\approx1.62[/inlmath] ali ne znam kako bi to iskoristio , sledeca ideja mi je bila da smanjim [inlmath]1.7[/inlmath] za [inlmath]\epsilon[/inlmath] ali onda ne znam kako dalje da nastavim sa tim jer dobijam [inlmath](1.7-\epsilon)^n[/inlmath] pa ne vidim kako da sa time pokazem da ce niz biti veci od toga.

Taj limes je zapravo jednak [inlmath]\displaystyle\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}[/inlmath] (zlatni presek, jelte), sto jeste priblizno [inlmath]1,62[/inlmath] (kao sto si i spomenuo). S obzirom da smo ga vec spomenuli, to mozes pokusati da uzmes [inlmath]r=\varphi[/inlmath]. Da to zaista vazi, probaj da pokazes indukcijom (kao sto si verujem i pokazao prvi deo). Ono sto ti moze biti od pomoci jeste da vazi [inlmath]\varphi^2-\varphi-1=0[/inlmath], odnosno [inlmath]\varphi^{n+2}=\varphi^{n+1}+\varphi^n[/inlmath]. Dalje sam, a ako negde zapnes, ti pitaj.