MATEMANIJA

Zbir [inlmath]k\enspace(k\ge1)[/inlmath] uzastopnih brojeva je jednak [inlmath]66[/inlmath] (prvi broj u tom nizu moze, a ne mora biti [inlmath]1[/inlmath]). Broj razlicitih vrednosti [inlmath]k[/inlmath] je?
Resenje: Veci od [inlmath]3[/inlmath].

Znam ja da se zbir uzastopnih brojeva izracunava kao broj kombinacija [inlmath]2.[/inlmath] klase od [inlmath]n+1[/inlmath] elemenata, tj. [inlmath]\displaystyle{n+1\choose2}=\frac{n(n+1)}{2}[/inlmath], ali ne znam kako to da iskoristim ovde. Dakle, imacemo [inlmath]k[/inlmath] elemenata i zbir ce biti jednak [inlmath]66[/inlmath].

Neki predlog?

Ilija je napisao:Znam ja da se zbir uzastopnih brojeva izracunava kao broj kombinacija [inlmath]2.[/inlmath] klase od [inlmath]n+1[/inlmath] elemenata, tj. [inlmath]\displaystyle{n+1\choose2}=\frac{n(n+1)}{2}[/inlmath],

To važi samo onda kada je prvi od tih uzastopnih brojeva jednak jedinici, međutim, ovde to ne mora biti slučaj, jer je naglašeno

Ilija je napisao:(prvi broj u tom nizu moze, a ne mora biti [inlmath]1[/inlmath])

Prvi od tih uzastopnih brojeva obeleži sa [inlmath]a_1[/inlmath], i onda će to biti aritmetički niz s [inlmath]k[/inlmath] članova, početnim članom [inlmath]a_1[/inlmath] i razlikom [inlmath]d=1[/inlmath].
Počni tako što ćeš sumu tog aritmetičkog niza izjednačiti sa [inlmath]66[/inlmath]...

Zahvaljujem.

Znaci imamo sledece:

• [inlmath]k[/inlmath] clanova;
• prvi clan [inlmath]a_1[/inlmath], diferenciju [inlmath]d=1[/inlmath] i opsti clan [inlmath]a_k[/inlmath];
• zbir niza [inlmath]S_{a_1,k}=66[/inlmath].

Iz ovog sledi da je [inlmath]a_k=a_1+k-1[/inlmath], pa prema formuli za sumu aritmetickog niza imamo da je:
[dispmath]S_{a_1,k}=\frac{k}{2}(a_1+a_k) \\\ \\\ 2S_{a_1,k}=k(a_1+a_1+k-1) \\\ \\\ 2S_{a_1,k}=k(2a_1+k-1)[/dispmath]
Sto znaci da je:
[dispmath]k(2a_1+k-1)=132[/dispmath]
I sad, je l' ovo resavati kao kvadratnu ili sta?

Ništa kvadratna. Na levoj strani imaš proizvod dva prirodna broja ([inlmath]k[/inlmath] je prirodan broj po uslovu zadatka, a vrednost u zagradi je ceo broj jer predstavlja zbir celih brojeva, ali mora biti pozitivan kako bi proizvod na levoj strani bio pozitivan kao što je i desna strana pozitivna, prema tome, i izraz u zagradi je prirodan broj).

Dakle, broj [inlmath]132[/inlmath] na desnoj strani rastavi na proste činioce i zatim te činioce na različite načine raspodeljuj u dve grupe i svaku od te dve grupe izjednačavaj sa svakim činiocem na levoj strani. Npr. [inlmath]k\left(2a_1+k-1\right)=4\cdot33\;\Rightarrow\;k=4,\;2a_1+k-1=33[/inlmath] itd. i na taj način traži sva moguća rešenja po [inlmath]k[/inlmath], imajući u vidu da [inlmath]a_1[/inlmath] mora biti ceo broj (ne prirodan, nego baš ceo, jer u zadatku nije rečeno da prvi član niza ne može biti negativan – nije rečeno da su članovi niza uzastopni prirodni brojevi, već samo da su uzastopni brojevi, što znači da su uzastopni celi brojevi).

Dakle, jesu li ovo sve moguce kombinacije koje treba da ispitam:
[dispmath]132=1\cdot2\cdot2\cdot3\cdot11[/dispmath]
Pa imamo:
[dispmath]132=1\cdot132=2\cdot66=3\cdot44=4\cdot33=6\cdot22=11\cdot12[/dispmath]

Tako je, to su sve kombinacije.

Nemoj zaboraviti da svaka od tih kombinacija podrazumeva i dva podslučaja, npr. kombinacija [inlmath]132=1\cdot132[/inlmath] ima podslučajeve [inlmath]\left(k,\;2a_1+k-1\right)=\left(1,132\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(k,\;2a_1+k-1\right)=\left(132,1\right)[/inlmath].

Dosta posla, a nadasve zadatak i nije tezak.