MATEMANIJA

24.(EO,MEH-02)
Imam 2 slicna zadatka koja nisam uspeo da resim preko geometrijske progresije
Neka je [inlmath]b_1,b_2,b_3,\ldots b_n\ldots[/inlmath] geometrijska progresija sa kolicnikom q za koju vazi da je zbir [inlmath]b_1+b_2+\cdots+b_n+\cdots=\sum\limits_{n=1}^{\infty}[/inlmath]
[dispmath]b_n=-4[/dispmath][dispmath]b_4-b_1=7\cdot(q-1)^2[/dispmath]
Odrediti [inlmath]b_{2002}[/inlmath]

Raspisao sam formulu [inlmath]b_4-b_1=7\cdot(q-1)^2[/inlmath] kao
[dispmath]b_1\left(q^3-1\right)=7\cdot(g-1)^2[/dispmath]
potom sam ovo sa leve strane raspisao kao razliku kubova i prebacio jedan deo na desnu stranu
[dispmath]b_1\cdot\left(q^2+q+1\right)=\frac{7\cdot(q-1)^2}{q-1}[/dispmath]
kad se skrati ovo sa desne strane dobijem
[dispmath]b_1\cdot\left(q^2+q+1\right)=7\cdot(q-1)[/dispmath]
Probao sam da odavde uvrstim [inlmath]b_1[/inlmath] u jednacinu za [inlmath]n[/inlmath]-ti clan [inlmath]\displaystyle b_n=\frac{7\cdot(q-1)}{q^2+q+1}\cdot q^{(n-1)}[/inlmath] ali na kraju ostanem sa [inlmath]q^n[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] sa desne strane i ne mogu da dobijem [inlmath]q[/inlmath] niti [inlmath]b_1[/inlmath]

Sve ostale zadatke iz geometrijske progresije sam resio osim ovog i jos jednog koji je slican ovom i koji hocu da pokusam da uradim nakon sto mi neko pojasni ovaj
Hvala na utrosenom vremenu

Batonja je napisao:[inlmath]b_1+b_2+\cdots+b_n+\cdots=\sum\limits_{n=1}^{\infty}[/inlmath]

Nedostaje pod sumom nešto, u postavci zadatka. Ne može biti "prazna" suma. Pa još beskonačna.
Da ne nagađamo, napiši molim te da li je ovo zaista postavka zadatka ili je promakla neka greška u kucanju.
I naravno da li je ovo beskonačna ili konačna suma i da li je pod sumom [inlmath]b_n[/inlmath] ili [inlmath]q[/inlmath] ili već šta.

[dispmath]b_1+b_2+b_3+\cdots+b_n+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}b_n=-4[/dispmath]
Napisao sam u zasebnom redu posto sam mislio da su dva razlicita uslova .

[dispmath]\frac{b_1}{1-q}=-4\\
b_1\left(q^2+q+1\right)=7(q-1)[/dispmath]
Samo rešiš ovaj sistem jednačina.
[dispmath]q=\frac{1}{2}[/dispmath]

bobanex je napisao:[dispmath]\frac{b_1}{1-q}=-4[/dispmath]

Jel moze neko da napise kako da izvedem ovo? lici mi na formulu
[dispmath]b_n=\frac{q^n-1}{q-1}[/dispmath]
Takodje kad se resi sistem dobiju se dva resenja za [inlmath]q[/inlmath]
[dispmath]q_1=-\frac{3}{2};\;q_2=\frac{1}{2}[/dispmath]
Zasto odbacujemo prvo resenje?

Batonja je napisao:lici mi na formulu
[dispmath]b_n=\frac{q^n-1}{q-1}[/dispmath]

Misilš na formulu [inlmath]\displaystyle S_n=b_1\frac{q^n-1}{q-1}[/inlmath], tj. na sumu geometrijskog reda?
Da, krećemo od te formule. E sad, pošto, po uslovu zadatka, za [inlmath]n\to\infty[/inlmath] suma [inlmath]S_n[/inlmath] mora biti konačna (iznosiće [inlmath]-4[/inlmath]), a razlomak [inlmath]\displaystyle\frac{q^n-1}{q-1}[/inlmath] će za beskonačno [inlmath]n[/inlmath] biti konačan samo onda kada je [inlmath]\left|q\right|<1[/inlmath], zaključujemo upravo to, da [inlmath]q[/inlmath] mora po apsolutnoj vrednosti biti strogo manje od [inlmath]1[/inlmath] (i taj uslov tada moramo i postaviti). Tada će [inlmath]q^n[/inlmath] težiti nuli kada [inlmath]n[/inlmath] teži beskonačnosti, pa beskonačna suma postaje
[dispmath]\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}b_1\frac{\cancelto{0}{q^n}-1}{q-1}=b_1\frac{-1}{q-1}=\frac{b_1}{1-q}[/dispmath]

Batonja je napisao:Takodje kad se resi sistem dobiju se dva resenja za [inlmath]q[/inlmath]
[dispmath]q_1=-\frac{3}{2};\;q_2=\frac{1}{2}[/dispmath]
Zasto odbacujemo prvo resenje?

Zbog uslova [inlmath]\left|q\right|<1[/inlmath] koji smo postavili.

@Daniel da mislio sam na [inlmath]S_n[/inlmath] hvala na pojasnjenju mi je jasno hvala i svima ostalima na utrosenom vremenu .