MATEMANIJA

Hvala. Ako moze i odgovor na ovo. Funkciju [inlmath]e^{-x}[/inlmath] razviti u red po kosinusima na intervalu [inlmath][0,2\pi][/inlmath]. Funkcija bi trebalo da se prosiri na interval [inlmath][-2\pi,2\pi][/inlmath] tako da bude parna, ali ne znam kako to da uradim.

Molim te, hajde da ne moram za svaku tačku Pravilnika posebno da te opominjem. Možeš li da uzmeš i da ga pročitaš od početka do kraja?
Ovo pitanje stvarno nema nikakve veze sa zadatkom u ovoj temi, i zato mu i nije mesto u istoj temi s tim zadatkom. Tačka 10. Pravilnika.
Izdvojio sam ga u zasebnu temu.

Kao što znaš, [inlmath]e^{-x}[/inlmath] nije parna funkcija (nije ni neparna). Pošto je kosinus parna funkcija, samim tim jedino one funkcije koje su na nekom intervalu parne možeš na tom intervalu razviti u red po kosinusima.
Za parne funkcije važi [inlmath]f\left(-x\right)=f\left(x\right)[/inlmath], a grafički posmatrano, grafik parne funkcije je simetričan u odnosu na [inlmath]y[/inlmath]-osu.
Prema tome, prvo izdvojiš onaj deo funkcije [inlmath]e^{-x}[/inlmath] koji se nalazi na zadatom intervalu [inlmath]\left[0,2\pi\right][/inlmath], a zatim, da bi obezbedio parnost, funkciju dodefinišeš i na intervalu [inlmath]\left[-2\pi,0\right][/inlmath] tako da grafici na ta dva intervala budu međusobno simetrični u odnosu na [inlmath]y[/inlmath]-osu.
To jest, da na celom intervalu [inlmath]\left[-2\pi,2\pi\right][/inlmath] važi [inlmath]f\left(-x\right)=f\left(x\right)[/inlmath].

Izvinjavam se i hvala. A da li onda [inlmath]a_0[/inlmath] i [inlmath]a_n[/inlmath] trazim kao integral u granicama od [inlmath]-2\pi[/inlmath] do [inlmath]0[/inlmath] pomocu formula za Furijeove redove?

Od [inlmath]-2\pi[/inlmath] do [inlmath]2\pi[/inlmath]. S tim da se, zbog parnosti funkcije, kao i zbog parnosti kosinusa, to može svesti na interval od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]2\pi[/inlmath], uz množenje vrednosti integrala sa [inlmath]2[/inlmath].

Prvo, srednja vrednost funkcije:
[dispmath]a_0=\frac{1}{4\pi}\int\limits_{-2\pi}^{2\pi}f\left(x\right)\,\mathrm dx[/dispmath]
Ovaj integral se može podeliti na dva intervala, od [inlmath]-2\pi[/inlmath] do [inlmath]0[/inlmath] i od [inlmath]0[/inlmath] do [inlmath]2\pi[/inlmath]:
[dispmath]a_0=\frac{1}{4\pi}\int\limits_{-2\pi}^0f\left(x\right)\,\mathrm dx+\frac{1}{4\pi}\int\limits_0^{2\pi}f\left(x\right)\,\mathrm dx[/dispmath]
E sad, pošto je funkcija [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] parna, tj. važi [inlmath]f\left(-x\right)=f\left(x\right)[/inlmath], integral [inlmath]\int\limits_{-2\pi}^0f\left(x\right)\,\mathrm dx[/inlmath] biće jednak integralu [inlmath]\int\limits_0^{2\pi}f\left(x\right)\,\mathrm dx[/inlmath]:
[dispmath]a_0=\frac{1}{4\pi}\int\limits_0^{2\pi}f\left(x\right)\,\mathrm dx+\frac{1}{4\pi}\int\limits_0^{2\pi}f\left(x\right)\,\mathrm dx[/dispmath][dispmath]a_0=\cancel2\cdot\frac{1}{_2\cancel4\pi}\int\limits_0^{2\pi}f\left(x\right)\,\mathrm dx[/dispmath][dispmath]a_0=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f\left(x\right)\,\mathrm dx[/dispmath]
Slično i za koeficijente [inlmath]a_n[/inlmath]:
[dispmath]a_n=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-2\pi}^{2\pi}f\left(x\right)\cos\frac{n\cancel\pi x}{2\cancel\pi}\,\mathrm dx[/dispmath][dispmath]a_n=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-2\pi}^{2\pi}f\left(x\right)\cos\frac{nx}{2}\,\mathrm dx[/dispmath]
Ovaj integral takođe možemo rastaviti na dva integrala,
[dispmath]a_n=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-2\pi}^0f\left(x\right)\cos\frac{nx}{2}\,\mathrm dx+\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f\left(x\right)\cos\frac{nx}{2}\,\mathrm dx[/dispmath]
Pošto su i [inlmath]f\left(x\right)[/inlmath] i kosinus parne funkcije, to će i njihov proizvod biti parna funkcija, tj.
[dispmath]f\left(-x\right)\cos\frac{n\left(-x\right)}{2}=f\left(x\right)\cos\frac{nx}{2}[/dispmath]
tako da će i integral [inlmath]\int\limits_{-2\pi}^0f\left(x\right)\cos\frac{nx}{2}\,\mathrm dx[/inlmath] biti jednak integralu [inlmath]\int\limits_0^{2\pi}f\left(x\right)\cos\frac{nx}{2}\,\mathrm dx[/inlmath]:
[dispmath]a_n=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f\left(x\right)\cos\frac{nx}{2}\,\mathrm dx+\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f\left(x\right)\cos\frac{nx}{2}\,\mathrm dx[/dispmath][dispmath]a_n=\cancel2\cdot\frac{1}{\cancel2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f\left(x\right)\cos\frac{nx}{2}\,\mathrm dx[/dispmath][dispmath]a_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_0^{2\pi}f\left(x\right)\cos\frac{nx}{2}\,\mathrm dx[/dispmath]