MATEMANIJA

Cetiri broja cine rastuci aritmeticki niz. Njihov zbir je [inlmath]16[/inlmath], a zbir njihovih kvadrata [inlmath]84[/inlmath]. Zbir njihovih kubova iznosi:

Uputstvo:

Pošto brojevi čine aritmetički niz, predstavi ih kao [inlmath]a_1[/inlmath], [inlmath]a_1+d[/inlmath], [inlmath]a_1+2d[/inlmath] i [inlmath]a_1+3d[/inlmath]. Pošto se kaže da je niz rastući, odmah postavi uslov da je [inlmath]d>0[/inlmath].

Na osnovu podatka da je njihov zbir [inlmath]16[/inlmath], postavljaš jednačinu, tako što prikažeš zbir ova četiri broja u obliku u kojem sam ih malopre prikazao i izjednačiš to sa [inlmath]16[/inlmath].

Isto tako, na osnovu podatka da je zbir njihovih kvadrata [inlmath]84[/inlmath], postaviš drugu jednačinu.

Kad ove dve jednačine budeš malo sredio, dobićeš sistem od dve jednačine sa dve nepoznate koji će, ako nigde nisi pogrešio, izgledati ovako:

[inlmath]2a_1+3d=8[/inlmath]
[inlmath]2a_1^2+6a_1d+7d^2=42[/inlmath]

Rešavaš ga tako što iz prve jednačine izraziš [inlmath]a_1[/inlmath] preko [inlmath]d[/inlmath] i uvrstiš u drugu jednačinu umesto [inlmath]a_1[/inlmath]. Kad sve to središ, dobićeš kvadratnu jednačinu po [inlmath]d[/inlmath], koja će, ako si sve uradio ispravno, glasiti ovako:

[inlmath]d^2-4=0[/inlmath]

i koja će imati jedno pozitivno i jedno negativno rešenje, ali negativno odbaciš zbog početnog uslova [inlmath]d>0[/inlmath]. Kad znaš [inlmath]d[/inlmath], onda lako odrediš i [inlmath]a_1[/inlmath] pomoću one prve jednačine sistema.

Na ovaj način si odredio i elemente niza, a kad znaš elemente niza, onda lako izračunaš i zbir njihovih kubova.

Mislim da ćeš uz ove instrukcije lako uraditi zadatak, a ako nešto ne bude išlo, javi pa da pomognemo.