MATEMANIJA

Zdravo, u ovom zadatku treba da pokazem konvergenciju niza, pa imam jedno pitanje vezano za monotonost:

Ovako glasi zadatak:
[dispmath]f_{n+1}=\frac{1}{m}\left((m-1)\cdot f_n+\frac{b}{f_n^{m-1}}\right)[/dispmath]
[dispmath]f_1\not=0[/dispmath]
[dispmath]b>0[/dispmath]
[dispmath]m\in\mathbb{N}[/dispmath]
[dispmath]n>2[/dispmath]

---

Sad se u jednacini
[dispmath]f_{n+1}=\frac{1}{m}\left((m-1)\cdot f_n+\frac{b}{f_n^{m-1}}\right)[/dispmath]

Oduzme [inlmath]f_n[/inlmath] i sa jedne i sa druge strane:

[dispmath]f_{n+1}-f_n=\frac{1}{m}\left(mf_n-f_n+\frac{b}{f_n^{m-1}}\right)-f_n=f_n-\frac{f_n}{m}+\frac{b}{m\cdot f_n^{m-1}}-f_n[/dispmath]

[inlmath]f_n[/inlmath] i [inlmath]-f_n[/inlmath] se skrate

[dispmath]\frac{b}{m\cdot f_n^{m-1}}-\frac{f_n}{m}=\frac{b+f_n\cdot f_n^{m-1}}{m\cdot f_n^{m-1}}[/dispmath]

Kako je
[dispmath]f_n\cdot f_n^{m-1}=f_n^m[/dispmath]

Dobija se kao konacan rezultat:

[dispmath]\frac{b-f_n^m}{m\cdot f_n^{m-1}}[/dispmath]

E sad od brojioca i imenioca zavisi da li ce razlika izmedju
[dispmath]f_{n+1}\quad\mbox{i}\quad f_n[/dispmath]
biti [inlmath]>0[/inlmath], [inlmath]<0[/inlmath] ili jednaka nuli.

U resenjima pise da je (manje-jednako) od nule resenje, ali ne znam kako su to zakljucili :/

Valjda ste me razumeli.

Ako je niz monotono opadajući, onda je potrebno da bude ograničen s donje strane da bi konvergirao. Da li je pre dokazivanja monotonosti dokazana ograničenost? Pitam zato, jer pretpostavljam da je ta nejednakost koja dokazuje ograničenost niza iskorišćena u ovom izrazu koji si napisao, pa da na osnovu toga sledi tvrdnja da je taj izraz manji ili jednak nuli.

Ako imaš napisan i dokaz za ograničenost ovog niza, možeš li i njega postovati, da ne lupam glavu ako ga već imaš. Najviše me, zapravo, buni slučaj kada je [inlmath]m[/inlmath] neparno a [inlmath]f_n[/inlmath] negativno, jer tada ne možemo jasno odrediti koji će znak imati [inlmath]f_{n+1}[/inlmath]... U ostalim slučajevima je očigledno da svi članovi niza imaju isti znak...

Moze da se iskoristi pravilo da je aritmeticka sredina veca/jednaka geometrijskoj sredini konacno mnogo pozitivnih brojeva:
[dispmath]f_{n+1}=\frac{(m-1)f_n+\frac{b}{f_n^{m-1}}}{m}\ge\sqrt[m]{f_n^{m-1}\cdot\frac{b}{f_n^{m-1}}}=\sqrt[m]b[/dispmath]
Dakle:
[dispmath]f_{n+1}\ge\sqrt[m]b[/dispmath]

Da, tačno... Pa onda, u slučaju da su članovi niza pozitivni, sasvim je vidljivo da je [inlmath]f_{n+1}^m\ge b[/inlmath], tj. da je [inlmath]b-f_{n+1}^m\ge 0[/inlmath], pa je i razlomak za koji pitaš manji od nule.
Situacija se komplikuje za slučaj negativnih članova niza, za taj slučaj moram još da razmislim.

Baš me sad ovo bacilo u rebus... Nikad ranije nisam razmišljao o geometrijskoj sredini negativnih brojeva, ali sad koliko vidim guglajući, izgleda da za negativne brojeve i nije definisana... Je l' nije, možda, negde u tekstu zadatka naglašeno da je [inlmath]f_n[/inlmath] pozitivan niz?

Da, nisam primetio sve. Lepo se sve vidi.

A to sto kazes za negativne clanove, zanimljivo je da u resenjima ne stoji nista o tome. Tu je samo resenje za pozitivne clanove o.O

---

Ne stoji nista. Ali sigurno je onda greska u tekstu zadatka. Ne znam sta bi drugo moglo da bude.

Mora biti da su greškom zaboravili da naglase da je niz pozitivan. Evo baš sad gledam, i kod ove nejednakosti između aritmetičkog i geometrijskog niza je naglašen uslov da je niz strogo pozitivan. Tako, da ta nejednakost ne bi ni mogla biti primenjena u slučaju da su neki članovi niza negativni.