MATEMANIJA

Evo jednog teskog zadatka. Nadji sledecu granicnu vrednost:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sum\limits_{i=1}^n\ln(i)}{n\cdot H_n}\right)^{H_n}[/dispmath]
Gde je [inlmath]H_n[/inlmath]:
[dispmath]H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}[/dispmath]
Zadatak je dat kao bonus na jednom od kolokvijuma na matematickom fakultetu. Nabasao sam na njega kad sam prelistavao rokove. Ja sam ga resio brzo za [inlmath]5[/inlmath] minuta (pukom srecom) mada nisam siguran da je [inlmath]100[/inlmath] posto tacno. Pa probajte da ga resite pa cu ja okaciti svoju ideju.

Ako nisam pogresio, rezultat bi trebalo da bude [inlmath]e^{-1-\gamma}[/inlmath], gde je [inlmath]\gamma[/inlmath] Ojlerova konstanta.

U principu, ovo u zagradi tezi jedinici, te imamo limes oblika [inlmath]1^{\infty}[/inlmath], a potom se iskoristi i da je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}(H_n-\ln n)=\gamma[/inlmath]. Takodje, Štolcova lema je zgodna za racunanje nekih limesa koji tu iskoce.

Jeste [inlmath]e^{-\gamma-1}[/inlmath]. Meni je ideja bila da za [inlmath]H_n[/inlmath] koristim [inlmath]H_n=\gamma+\ln(n)+\epsilon_n[/inlmath] gde epsilon tezi nuli. U racunu nisam vukao [inlmath]\epsilon_n[/inlmath] mrzelo me. Pa sam onda negde u medju koraku koristio Stirlingovu aproksimaciju [inlmath]n!\sim\left(\frac{n}{e}\right)^n\sqrt{2\pi n}[/inlmath]. I isao sam na ono klasicno srednjoskolsko teranje limesa tipa
[dispmath]\left(\frac{2n-1}{2n+1}\right)^n[/dispmath]
Ovo moze bez Stolca a i mislim da bi bilo nepotrebno komplikovanje ubacivati ga.

Ne mogu tvrditi sa sigurnoscu, ali bih rekao da si ovaj zadatak video u rokovima za Analizu 1. Zato mi izgleda malo „prejako“ da se koristi Stirlingova formula, jer se njeno izvodjenje radi u Analizi 2 (moze se uraditi i samo metodama Analize 1, no obicno se ceka Analiza 2 da bi se dobila sto preciznija ocena (sa malim/velikim o)). Sa druge strane, Štolz predstavlja jedan od osnovnijih alata koji se koristi u Analizi 1 za nalazenje raznih limesa nizova.

Tacnije, ovaj zadatak mi pripada nekadasnjoj Analizi 1a, za vreme koje se ne zna za Stirlingovu formula (koja se zaista spomene u Analizi 1b, sad se setih, kod redova (ali ne i sam njen dokaz, obicno)).

Slažem se sa prethodnim.
Jedino bih dodao da red sa pozitivnim članovima:
[dispmath]\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p}[/dispmath]
konvergira za [inlmath]p>1[/inlmath] i divergira za [inlmath]p\le1[/inlmath]
Ovo je lako dokazivo korišćenjem Košijevog integralnog kriterijuma.

p.s. Nije ovo toliko potrebno za prethodni zadatak, a slažem se i s kolegom Onomatopejom da je Stirlingova formula prejako oružje za ovaj zadatak, no svejedno.
Moja poenta (zašto uopšte nastavljam temu) je da sledeći (harmonijski) red divergira:
[dispmath]\sum_{i=1}^\infty\frac{1}{n}[/dispmath]
Ne znam da li je ovo već bilo na Matemaniji (ovo što sam ja napisao) no (opet) svejedno, nije loše napomenuti.

p.p.s. Mene [inlmath]H_n[/inlmath] neodoljivo podseća na oznaku koju sam davno video za opšti član harmonijskog reda i to je drugi razlog za moj post. Dobro, u zadatku postavljenom u temi je limes, ali...
Neće škoditi ovo što napisah, po mom mišljenju.

I da se doreknem:

• Niz predstavlja popularno rečeno brojeve nanizane po nekom pravilu i ništa više.
  Primer: [inlmath]\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\ldots\frac{1}{n},\frac{1}{n+1},\ldots[/inlmath]
  
• Red je suma članova niza, beskonačno mnogo članova niza pri čemu ta suma može biti beskonačna ili da ne postoji (u kom slučaju red divergira) ili da je ta suma (opet i opet!) beskonačno mnogo članova niza konačna, što znači da red konvergira.
  Primer:[inlmath]\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots[/inlmath]

Neki autori (malobrojni!) definišu red kao "beskonačnu sumu" što je po meni pogrešno.

p.s. Već sam o ovome kuckao po Matemaniji, nego da vidimo još jednom.
p.p.s. Priznaću ako nisam u pravu, no da mi neko dokaže da nisam u pravu.

Moram još, izvinjavam se.
Opet se nisam dorekao.
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0[/dispmath]

[dispmath]\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}[/dispmath]

Da prigovorim:
1. Definicija niza: Niz je svaka funkcija [inlmath]f\colon\mathbb{N}\to\mathbb{R}[/inlmath] u oznaci [inlmath]a(n),\;a_n[/inlmath].
2. Defincija reda: Neka je [inlmath]a_n[/inlmath] proizvoljan niz relanih (kompleksnih) brojeva. Pod realnim (kompleksnim) redom podrazumevamo sledecu sumu
[dispmath]S=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n[/dispmath]
[inlmath]P[/inlmath]-tom parcijalnom sumom reda nazivamo:
[dispmath]S_p=\sum_{n=0}^pa_n[/dispmath]
Red konvergira ako mu konvergira niz parcijalnih suma.
Mislim da su ove gore definicije najjasnije i najkorektnije. Mislim da je ta "definicija" niza kao brojeve nanizane po nekom pravilu losa i u njoj se gubi sustina da je niz funkcija (neprekidna da dodam posto su mu sve tacke izolovane).
Da bismo na primer dokazali da divergira harmonijski red treba samo da dokazemo npr. da mu niz parcijalnih suma nije Kosijev ili moze integralni kriterijum ili sledeci nacin:
[dispmath]S=1+\frac{1}{2}+\Big(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\Big)+\Big(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\Big)+\cdots\\
>\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\Big(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\Big)+\Big(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\Big)+\cdots\\
=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\Big(\frac{1}{2}\Big)+\Big(\frac{1}{2}\Big)+\cdots[/dispmath]
i tako gomilamo te polovine za svakih sledecih [inlmath]2^k[/inlmath] sabiraka po tom receptu kako to mozemo da uradimo za sve sabirke gornja suma divergira uvek dodamo jednu polovinu.
Dokaz da niz parcijalnih suma nije Kosijev:
[dispmath]\big|H_{2n}-H_n\big|=\Big|\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+ n}\Big|>\frac{1}{n+n}+\frac{1}{n+n}+\cdots+\frac{1}{n+n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}\\
\big|H_{2n}-H_n\big|>\frac{1}{2}[/dispmath]
I tu vidimo da nije ispunjen Kosijev uslov posto on kaze da razlika mora biti manja od proizvoljnog epsilon a ovde je ona uvek veca od jedne polovine.

Prigovor na prigovor:

desideri je napisao:Niz predstavlja popularno rečeno brojeve nanizane po nekom pravilu i ništa više.

Ja rekoh "popularno rečeno", a ne nešto strogo formalno.
Inače nemam šta da osporim u tvom prethodnom postu, Trougao.

p.s. Sasvim je tačno da red konvergira kao što je navedeno u tvom prethodnom postu, tj ako konvergira niz parcijalnih suma reda. Ali (za sada) nije uočena poenta na koju sam i hteo da ukažem: Da li je red beskonačna suma ili ne? Da li to sme čak i popularno da se kaže?

desideri je napisao:

• Niz predstavlja popularno rečeno brojeve nanizane po nekom pravilu i ništa više.

Nek je i popularno rečeno, al' mene opet „žulja“ ovo crveno.
Vrednosti članova niza ne moraju imati nikakvu pravilnost. Istina, u zadacima se najčešće daje neka funkcija koja opisuje vrednost opšteg člana niza, pa tada pravilnost postoji, ali to ne znači da uvek mora biti tako.
Ja mogu, recimo, da navedem ovakve brojeve,
[inlmath]3\pi,\;7,\;4^e,\;\frac{1}{3},\;\sqrt3[/inlmath]
koji su očigledno poređani bez ikakve pravilnosti, i da kažem da je to neki niz (od pet članova).

Inače se slažem da iz pojma „beskonačna suma“ nije najjasnije da li je to suma od beskonačno mnogo sabiraka, ili je to suma čija je vrednost beskonačna.

Trougao je napisao:i u njoj se gubi sustina da je niz funkcija (neprekidna da dodam posto su mu sve tacke izolovane).

Da nisi umesto neprekidna hteo da kažeš diskretna?

Mislio sam bas neprekidna, ona jeste diskretna. Niz ima sve tacke izolovane pa je po definicji nepekidnosti on neprekidan u svakoj njegovoj tacki.
Ako imamo na primer neku funkciju [inlmath]f: A \to \mathbb{R}[/inlmath]
[dispmath](\forall \epsilon > 0)(\exists \delta >0)(\forall x \in A)(|x - x_0| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(x_0)| <\epsilon)[/dispmath]
Na primer, ako uzmemo bilo koje epsilon onda ce svako [inlmath]0<\delta < 1[/inlmath] da radi jer je jedina vrednost funkcije u toj okolini tacke [inlmath]x_0[/inlmath] (koje je prirodan broj) upravo bas ta tacka (jer je funkcija tj. niz definisan na prirodnim brojevima), a u definiciji imamo [inlmath](\forall x \in A)[/inlmath]. Pa je razlika [inlmath]|f(x) - f(x_0)| <\epsilon[/inlmath] trivijalno ispunjena [inlmath]|f(x_0) - f(x_0)| = 0 < \epsilon[/inlmath]
Valjda sam dobro objasnio.

Hm... Si ti siguran u to?
Po definiciji neprekidnosti, da bi funkcija uopšte mogla biti neprekidna u nekoj tački, osnovni je preduslov da bude definisana u nekoj okolini te tačke.
Međutim, kod diskretne funkcije ti nemaš nijednu tačku za koju važi da je u nekoj njenoj okolini funkcija definisana.

Siguran sam. Znam da nam je to pricao i asistent. Napisao sam gore razlog. Meni je to isprva delovalo besmisleno ali i nije.
Da bi fukncija bila neprekidna ne mora da bude definisana u okolini tacke, to ne pise u definiciji. U definicji granicne vrednosti kaze neka je [inlmath]x_0[/inlmath] tacka nagomilavanja.

U svim definicijama do kojih sam ja došao spominje se definisanost funkcije u okolini tačke:
http://www.pmf.ni.ac.rs/pmf/predmeti/25 ... anje_2.pdf (str. 10)
http://www.rgf.bg.ac.rs/predmet/RO/III% ... RO_Lim.pdf (str. 16)
https://sh.wikipedia.org/wiki/Neprekidne_funkcije

Ako imaš link neke drugačije definicije, u kojoj definisanost u okolini tačke nije uslov za neprekidnost, bi li mogao da priložiš isti?

Evo prepisujem definiciju iz knjige Matematicka Analiza 1 od Zorana Kadelburga i Dusana Adnadjevica.
Za funkciju [inlmath]f\colon A\to\mathbb{R}[/inlmath] realne promenljive kazemo da je neprekidna u tacki [inlmath]a\in A[/inlmath] ako za svaku okolinu [inlmath]V[/inlmath] tacke [inlmath]f(a)[/inlmath] postoji okolina [inlmath]U[/inlmath] tacke [inlmath]a[/inlmath] (u skupu [inlmath]A[/inlmath]), takva da je [inlmath]f(U)\subset V[/inlmath]. Drugim recima, [inlmath]f[/inlmath] je neprekidna u [inlmath]a[/inlmath] ako
[dispmath](\forall\epsilon>0)(\exists\delta>0)(\forall x\in A)(|x-a|<\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-f(a)|<\epsilon)[/dispmath]
Ovde se nigde ne spominje da mora biti definisana u okolini tacke (naravno ona moze i najcesce jeste).
Sada citiram deo koji se nalazi ispod ove definicije:
Primecujemo odmah da definicija neprekidnosti ima slicnosti sa definicijom granicne vrednosti funkcije u tacki. No postoje i neke vazne razlike. Prvo, tacka [inlmath]a\in A[/inlmath] u kojoj se govori o neprekidnosti funkcije [inlmath]f[/inlmath] ne mora biti tacka nagomilavanja skupa [inlmath]A[/inlmath] - ona, naprotiv, moze biti izolovana tacka tog skupa, tj. moze imati svojstvo da u nekoj okolini tacke [inlmath]U(a)[/inlmath] nema drugih tacka skupa [inlmath]A[/inlmath] osim nje same. Jasno je da se u tom slucaju ne moze govoriti o granicnoj vrednosti [inlmath]\lim\limits_{x\to a}f(x)[/inlmath]; jasno je, takodje, da je u tom slucaju funkcija uvek neprekidna u tacki [inlmath]a[/inlmath], jer je [inlmath]f\bigl(U(a)\bigr)=\{f(a)\}\subset V[/inlmath] za svaku okolinu [inlmath]V[/inlmath] tacke [inlmath]f(a)[/inlmath]. No to je trivijalan slucaj.
Kraj citata.
I sledeci stav koji se nalazi pasus ispod tog citata:
Neka je [inlmath]f\colon A\to\mathbb{R}[/inlmath] funkcija realne promenljive i [inlmath]a\in A[/inlmath] tacka nagomilavanja skupa [inlmath]A[/inlmath].
Tada su sledeca tvrdjenja ekvivalentna:
1) funkcija [inlmath]f[/inlmath] je neprekinda u tacki [inlmath]a[/inlmath];
2) [inlmath]\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)[/inlmath]
3) za svaki niz [inlmath](x_n),\;x_n\in A[/inlmath], za koji je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}x_n=a[/inlmath] vazi [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}f(x_n)=f(a)[/inlmath]
Znaci ona definicija neprekidnost koju sam gore skroz napisao je najopstija, a sve ostalo je posledica nje.
Da budem iskren ja retko kad obracam paznje na te sitnice u definicijama, teoremama. Vise sam covek koji voli da vidi integral i da cepa.
Pogledao sam one linkove i oni uglavnom uzimaju ovaj stav kao definiciju ili prvo uvedu granicnu vrednost pa onda neprekidnost, ali to nije najopstiji nacin (samim tim i nije najkorektniji).
Nadam se da je ovo razjasnilo

Hvala na trudu da sve ovo prekucaš, verujem da je bio pozamašan posao.
Pročitao sam sve, i zaista je sve logično.
Ukoliko je ova definicija tačna (a nemam razloga da sumnjam da jeste), onda ove definicije do kojih sam ja došao (i koje sam linkovao), ako nisu pogrešne onda su svakako nepotpune, jer su ograničene samo na slučaj definisanosti funkcije u okolini posmatrane tačke, dok ništa ne govore za slučaj kada funkcija u toj okolini nije definisana – zbog čega se i ne bi mogle smatrati validnim definicijama.

Trougao je napisao:Mislio sam bas neprekidna, ona jeste diskretna.

Na ovako formulisanu rečenicu, makar bila i izvučena iz konteksta, ne pristajem.
Nikad.
p.s. Ovo je slično kao kada bi se napisalo:
"Mislio sam baš crna, ona jeste bela."

Pa neprekidna u smislu definicije date gore(naravno da recenica cudno zvuci ). Funkcija je neprekidna u svakoj izolovanoj tacki.
Npr. da li je funkcija definisana ovako neprekidna:
Koja za [inlmath]0[/inlmath] daje vrednost [inlmath]1[/inlmath] i za ostale vrednosti ne postoji.
To je samo jedna tacka zar ne? Pa sta da kazemo o toj funkciji da li je ona neprekidna, prekidna ili nesta trece?
Uzmimo sada funkciju kao gore navednu samo sto za [inlmath]x = 1[/inlmath] vraca na primer [inlmath]2[/inlmath] i ne postoji u ostalim tackama.
Da li je ova funkcija sada neprekidna? To su dve razdvojene tacke.

Tvoj primer @Trougao je očigledan i po mom mišljenju trivijalan.
Mislim da smo zalutali u odnosu na tvoju temu, pogledaj naslov sopstvene teme. Molim te.
Zašto niko ne odgovara rečima na pitanje koje sam postavio:
Da li je red beskonačna suma?

Ja mislim da jeste. I ne mislim da je to pogresno. To sve zavisi od licnog uverenja da li posmatras beskonacnost kao nesta sto postoji ili nesta cemu se moze samo teziti.

Daniel je napisao:

desideri je napisao:

• Niz predstavlja popularno rečeno brojeve nanizane po nekom pravilu i ništa više.

Nek je i popularno rečeno, al' mene opet „žulja“ ovo crveno.
Vrednosti članova niza ne moraju imati nikakvu pravilnost. Istina, u zadacima se najčešće daje neka funkcija koja opisuje vrednost opšteg člana niza, pa tada pravilnost postoji, ali to ne znači da uvek mora biti tako.
Ja mogu, recimo, da navedem ovakve brojeve,
[inlmath]3\pi,\;7,\;4^e,\;\frac{1}{3},\;\sqrt3[/inlmath]
koji su očigledno poređani bez ikakve pravilnosti, i da kažem da je to neki niz (od pet članova).

Ne, moramo imati neku pravilnost. Ta, da kazem, uocljiva, pravilnost ne mora krenuti od prvog clana, ali mora krenuti od nekog. To jest, mi mozemo uzeti da je prvih sto clanova dato u proizvoljnom odnosu (no, mi ih moramo navesti, izlistati), i to nije problematicno, ali vec posle moramo imati neku pravilnost. I ovo prethodno se da opisati jednom funkcijom, jer kazemo [inlmath]f(1)= \text{nesto}[/inlmath], [inlmath]\ldots, f(100)= \text{nesto drugo}, f(n)= \text{neko pravilo sa } n[/inlmath] (za [inlmath]n \ge 101[/inlmath]).

Takodje, mozemo da se igramo i da kazemo da je prvih sto clanova zadata po jednom pravilu, pa sledecih petsto po nekom drugom, pa sledecih hiljadu po nekom trecem, pa onda sve ponovo po prvom, al poenta je da od nekog trenutka mora krenuti neko uniformno pravilo za sve preostale clanove niza.

Naime, mi kad radimo sa nizovima smatramo, u principu, da su oni beskonacni. Zato, da bismo redjali clanove moramo imati tu pravilnost da bi smo znali i sta je sedmi, ali i sta je [inlmath]10^{27}[/inlmath]-mi clan.

Naravno, ako imamo konacan niz onda mozemo da nemamo nikakvu uocljivu pravilnost, premda i tu imamo pravilo da smo rekli ti si prvi, ti si drugi clan, i tako sve do poslednjeg.

Isto tako, ako si mislio da mi mozemo da generisemo niz pomocu racunara, da nam on izbacuje random brojeve (i to tako u nedogled), onda ne mozemo tako nesto nazvati nizom. Naime, mi tada ne znamo ni kako glasi prvi clan (jer ce racunar izbaciti proizvoljan broj, sto je neodredjeno), a kamoli kako glasi stoti clan. Naravno, mi mozemo da zapisujemo clan po clan, al ponovo, stvar kod nizova je da kad ja zatrazim [inlmath]n[/inlmath]-ti clan onda tacno znam kako on glasi (sto ovde nemamo).