MATEMANIJA

Pozdrav svima.
Daću primer:
[dispmath]a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\cdot(-1)^n+\sin\frac{n\pi}{4}[/dispmath]
Kako je dobijeno da imamo [inlmath]8[/inlmath] podnizova?

Ne mora biti [inlmath]8[/inlmath] podnizova. Može ih biti koliko god želiš. Međutim, tekst ovog zadatka je verovatno glasio "odredi tačke nagomilavanja niza" ili tako nešto (zato je dobro da detaljno opišeš zadatak). Broj [inlmath]8[/inlmath] se uzeo zato što je to period [inlmath]\sin\left(\frac{n\pi}{4}\right)[/inlmath] tj. [inlmath]\sin\left(\frac{(n+8)\pi}{4}\right)=\sin\left(\frac{n\pi}{4}\right)[/inlmath]. Izraz [inlmath]\left(-1\right)^2[/inlmath] je takođe periodičan, međutim njegov period je [inlmath]2[/inlmath], a [inlmath]8[/inlmath] već sadrži [inlmath]2[/inlmath].
Sa ovakvim razbijanjem niza u podnizove [inlmath]a_{8k},\;a_{8k+1},\;a_{8k+2},\ldots[/inlmath], dobijeni su nizovi kod koji su delovi [inlmath]\sin\left(\frac{n\pi}{4}\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(-1\right)^2[/inlmath] konstantni za taj podniz, pa su podnizovi konvergentni (jer i [inlmath]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/inlmath] konvergira ka [inlmath]e[/inlmath]). A znamo ako podniz [inlmath]a_{n_k}[/inlmath] konvergira ka nekom [inlmath]a\in\mathbb{R}[/inlmath] onda je to tačka nagomilavanja niza [inlmath]a_n[/inlmath].