Ćao svima, da li bi bio neko ljubazan da mi objasni kako bih mogao da uradim ovaj zadatak koristeći Štolcovu teoremu? Znam kako bih uradio da je jedna razlomačka crta, ali problem mi prave dve.
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^p}-\frac{n}{p+1}\right),\quad p\in\mathbb{N}[/dispmath]
Hvala unapred.

Označiš [inlmath]Q_n=(p+1)\left(1^p+\cdots+n^p\right)-n^{p+1}[/inlmath], i
[inlmath]P_n=(p+1)n^p[/inlmath]
[dispmath]\Longrightarrow\quad\lim_{n\to\infty}\frac{Q_n}{P_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{(p+1)\left(1^p+\cdots+n^p\right)-n^{p+1}}{(p+1)n^p}\\
\lim_{n\to\infty}\frac{Q_n-Q_{n-1}}{P_n-P_{n-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{(p+1)n^p-\left(n^{p+1}-(n-1)^{p+1}\right)}{(p+1)\bigl(n^p-(n-1)^p\bigr)}=\frac{1}{2}[/dispmath]
Važi i
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}[/dispmath]

Jedno pitanje. Kako smo došli na kraju do [inlmath]\frac{1}{2}[/inlmath]?

Razvijemo [inlmath](n-1)^{p+1}[/inlmath], odnosno [inlmath](n-1)^p[/inlmath]:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{(p+1)n^p-\left(n^{p+1}-(n-1)^{p+1}\right)}{(p+1)\left(n^p-(n-1)^p\right)}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{n\to\infty}\frac{\bcancel{(p+1)n^p}-\left(\cancel{n^{p+1}}-\cancel{n^{p+1}}+\bcancel{(p+1)n^p}-{p+1\choose2}n^{p-1}+{p+1\choose3}n^{p-2}-\cdots\right)}{(p+1)\left(\cancel{n^p}-\cancel{n^p}+pn^{p-1}-{p\choose2}n^{p-2}+{p\choose3}n^{p-3}-\cdots\right)}[/dispmath] Nakon deljenja i brojioca i imenioca najvećim stepenom [inlmath]n[/inlmath], a to je [inlmath]n^{p-1}[/inlmath], dobija se
[dispmath]=\lim_{n\to\infty}\frac{{p+1\choose2}-\cancelto{0}{{p+1\choose3}\frac{1}{n}}+\cdots}{(p+1)\left(p-\cancelto{0}{{p\choose2}\frac{1}{n}}+\cancelto{0}{{p\choose3}\frac{1}{n^2}}-\cdots\right)}=\cdots=\frac{1}{2}[/dispmath]

mala_mu je napisao:Važi i
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}[/dispmath]

Tacnije, vazi
[dispmath]\liminf_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\le\liminf_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\le\limsup_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}\le\limsup_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n},[/dispmath] tj. ako postoji [inlmath]\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}[/inlmath] onda postoji i [inlmath]\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}[/inlmath] i medjusobno su jednaki.