MATEMANIJA

Funkciju [inlmath]f(x)=\max\{\sin x,0\}[/inlmath] razviti u Furijeov red, pa zatim naci sumu reda [inlmath]\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4n^2-1}[/inlmath].

Može li mi neko objasniti ovu funkciju, pošto je ja prvi put vidim?
I sta staviti za [inlmath]f(x)[/inlmath] u [inlmath]a_n[/inlmath] i [inlmath]b_n[/inlmath]?
Hvala unapred.

Funkcija [inlmath]\max\{a,b\}[/inlmath] jednaka je većem od brojeva [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]. To jest,
[dispmath]\max\{a,b\}=\begin{cases}
a, & a\ge b\\
b, & a<b
\end{cases}[/dispmath] Dakle, [inlmath]\max\{2,3\}=3[/inlmath], [inlmath]\max\{5,3\}=5[/inlmath], [inlmath]\max\{4,4\}=4[/inlmath], [inlmath]\max\{1,-2\}=1[/inlmath], [inlmath]\max\{-5,-3\}=-3[/inlmath].

Možeš li sad da zaključiš koju će vrednost funkcija [inlmath]f(x)=\max\{\sin x,0\}[/inlmath] imati kada je [inlmath]\sin x[/inlmath] veći od nule, koju kada je [inlmath]\sin x[/inlmath] jednak nuli, a koju kada je [inlmath]\sin x[/inlmath] manji od nule?

Dobije se da je [inlmath]\max\{a,b\}=\begin{cases} \sin x, & \sin x>0\\ 0, & \sin x \le0 \end{cases}[/inlmath].
I ako uzmem da mi je interval [inlmath][-\pi,\pi][/inlmath] imam da je
[dispmath]a_n=\frac{1}{\pi}\left[\int\limits_\pi^00\,\mathrm dx+\int\limits_0^\pi\sin x\cos(nx)\,\mathrm dx\right]=\cdots=\frac{1}{\pi\left(4n^2-1\right)}\Bigl[(-1)^{n-1}-1\Bigr]\\
a_0=\frac{2}{\pi}\\
b_n=\frac{1}{\pi}\left[\int\limits_\pi^00\,\mathrm dx+\int\limits_0^\pi\sin x\sin(nx)\,\mathrm dx\right]=0[/dispmath] Pa onda ako uzmem da je [inlmath]n=2k[/inlmath] imam da je
[dispmath]a_{2k}=\frac{-2}{\pi\left(4k^2-1\right)}[/dispmath] a ako je [inlmath]n=2k-1[/inlmath]
[dispmath]a_{2k-1}=0[/dispmath] I na kraju dobijem
[dispmath]f(x)=\frac{1}{\pi}-\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos2kx}{4k^2-1}[/dispmath]
E sad pitanje je sta uvrstiti ovdje kao [inlmath]f(x)[/inlmath]?

hackler je napisao:Dobije se da je [inlmath]\max\{a,b\}=\begin{cases} \sin x, & \sin x>0\\ 0, & \sin x \le0 \end{cases}[/inlmath].

Zapravo, ne [inlmath]\max\{a,b\}[/inlmath] već [inlmath]f(x)[/inlmath]. I ta funkcija izgleda ovako:


Inače, čisto uzgred da napomenem da se ta funkcija dosta često sreće u elektro(teh)nici, jer upravo takav vremenski oblik napona se dobije kada naizmenični napon (sinusoidu) dovedemo na jednostrani usmerač, tj. redno vezanu diodu, koja tada propušta samo pozitivnu poluperiodu napona, čime se, nakon diode, dobije upravo ovakav, jednosmeran pulsirajući napon. To jest, samo pozitivna poluperioda sinusoide.

hackler je napisao:I ako uzmem da mi je interval [inlmath][-\pi,\pi][/inlmath] imam da je
[dispmath]a_n=\frac{1}{\pi}\left[\int\limits_{\color{red}\pi}^00\,\mathrm dx+\int\limits_0^\pi\sin x\cos(nx)\,\mathrm dx\right]=\cdots=\frac{1}{\pi\left({\color{red}4}n^2-1\right)}\Bigl[(-1)^{n-1}-1\Bigr][/dispmath]

Ovo su očigledno greške u kucanju (budući da se nisu provlačile kroz dalji postupak), al' čisto da napomenem – umesto [inlmath]\color{red}\pi[/inlmath] treba, naravno, [inlmath]-\pi[/inlmath], a crveno obeležena četvorka je suvišna.

hackler je napisao:[dispmath]b_n=\frac{1}{\pi}\left[\int\limits_\pi^00\,\mathrm dx+\int\limits_0^\pi\sin x\sin(nx)\,\mathrm dx\right]=0[/dispmath]

Ovde treba biti oprezan. Dobije se da je [inlmath]b_n=-\left.\frac{\sin(n+1)x}{2\pi(n+1)}\right|_0^\pi+\left.\frac{\sin(n-1)x}{2\pi(n-1)}\right|_0^\pi[/inlmath] i prvi sabirak je svakako nula za svako [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath], ali drugi sabirak je za [inlmath]n=1[/inlmath] neodređen (oblik [inlmath]\frac{0}{0}[/inlmath]). Zbog toga je potrebno [inlmath]b_1[/inlmath] računati posebno, kao [inlmath]b_1=\frac{1}{\pi}\left(\int\limits_{-\pi}^00\,\mathrm dx+\int\limits_0^\pi\sin x\sin x\,\mathrm dx\right)[/inlmath], tj. kao [inlmath]b_1=\frac{1}{\pi}\int\limits_0^\pi\sin^2x\,\mathrm dx[/inlmath] (slično bi trebalo, iz istog razloga, uraditi i za [inlmath]a_1[/inlmath], mada se dobije da je [inlmath]a_1=0[/inlmath], tako da to nema uticaja na rezultat).

Zbog greške sa [inlmath]b_1[/inlmath], krajnji rezultat,

hackler je napisao:I na kraju dobijem
[dispmath]f(x)=\frac{1}{\pi}-\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos2kx}{4k^2-1}[/dispmath]

nije tačan. Na taj izraz treba još da dodaš [inlmath]b_1\sin x[/inlmath] (pri čemu, naravno, [inlmath]b_1[/inlmath] treba da odrediš).

hackler je napisao:E sad pitanje je sta uvrstiti ovdje kao [inlmath]f(x)[/inlmath]?

Nisam siguran da li sam dobro razumeo ovo pitanje.
Da li misliš na to kako da nađemo sumu reda [inlmath]\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4n^2-1}[/inlmath] preko ovog dobijenog rezultata?
Hajde prvo napiši rezultat u ispravnom obliku, pa ćemo onda videti dalje.

---

Inače, radi onih koji bi ovo da prate a nisu upoznati s formulama, formule glase
[dispmath]f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty a_k\cos kx+\sum_{k=1}^\infty b_k\sin kx\\
a_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\,\mathrm dx\\
b_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\,\mathrm dx[/dispmath]

Daniel je napisao:Inače, radi onih koji bi ovo da prate a nisu upoznati s formulama, formule glase
[dispmath]f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^\infty a_k\cos kx+\sum_{k=1}^\infty b_k\sin kx[/dispmath]

Ova formula je tacna pod odredjenim uslovima. Obicno se desna strana obelezava sa [inlmath]S(x)[/inlmath] i ne vazi uvek da je [inlmath]S(x)=f(x)[/inlmath], vec postoje kriterijumi (Dinijev, Lipsicov, Zordan–Dirihleov, Dirihleov) koji se odnose na to pitanje ka cemu konvergira Furijeov red tacka po tacka (postoje naravno i verzije za uniformnu (ravnomernu) konvergenciju). U ovom zadatku jeste [inlmath]f(x)=S(x)[/inlmath], ali sam imao potrebu da naglasim prethodno jer tu mnogi grese.

Dakle kad ispravim sve greske, dobijem da je:
[dispmath]a_n=\frac{1}{\pi\left(n^2-1\right)}\Bigl[(-1)^{n-1}-1\Bigr]\\
b_1=\frac{1}{2}[/dispmath] I krajnji rezultat je
[dispmath]f(x)=\frac{1}{\pi}-\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos2kx}{4k^2-1}+\frac{1}{2}\sin x[/dispmath]

Daniel je napisao:Nisam siguran da li sam dobro razumeo ovo pitanje.
Da li misliš na to kako da nađemo sumu reda [inlmath]\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4n^2-1}[/inlmath] preko ovog dobijenog rezultata?

Da, trebam od dobijenog rezultata da dobijem ovu sumu.

hackler je napisao:I krajnji rezultat je
[dispmath]f(x)=\frac{1}{\pi}-\frac{2}{\pi}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\cos2kx}{4k^2-1}+\frac{1}{2}\sin x[/dispmath]

hackler je napisao:

Daniel je napisao:Da li misliš na to kako da nađemo sumu reda [inlmath]\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{4n^2-1}[/inlmath] preko ovog dobijenog rezultata?

Da, trebam od dobijenog rezultata da dobijem ovu sumu.

Prvo ovo [inlmath](-1)^n[/inlmath] unutar tražene sume napiši kao [inlmath]\cos n\pi[/inlmath], a zatim uoči sličnost između te sume i one sume koja figuriše unutar dobijenog izraza za [inlmath]f(x)[/inlmath].

Daniel je napisao:Prvo ovo [inlmath](-1)^n[/inlmath] unutar tražene sume napiši kao [inlmath]\cos n\pi[/inlmath], a zatim uoči sličnost između te sume i one sume koja figuriše unutar dobijenog izraza za [inlmath]f(x)[/inlmath].

Znaci da u dobijeni izraz za [inlmath]x[/inlmath] moram uvrstiti [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath] da bi dobio isti oblik sume.

Tako je, [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath].

I onda u izrazu za [inlmath]f(x)[/inlmath], nakon što si uvrstio [inlmath]x=\frac{\pi}{2}[/inlmath], grupišeš sabirke tako da na jednoj strani jednakosti imaš samo sumu, a na drugoj strani jednakosti imaš sve sabirke osim sume, iz čega možeš izračunati (kad nađeš vrednosti tih ostalih sabiraka) čemu je jednaka suma.

Daniel je napisao:I onda u izrazu za [inlmath]f(x)[/inlmath], nakon što si uvrstio [inlmath]x=\frac{\pi}{2}[/inlmath], grupišeš sabirke tako da na jednoj strani jednakosti imaš samo sumu, a na drugoj strani jednakosti imaš sve sabirke osim sume, iz čega možeš izračunati (kad nađeš vrednosti tih ostalih sabiraka) čemu je jednaka suma.

Znam kako se trazi suma, samo mi je bilo bitno da nadjem ovaj trazeni oblik sume.
Hvala!