MATEMANIJA

Jedan od zadataka na pismenom na kom sam totalno blokirao; dat je aritmetički niz [inlmath]-3+1+5+9+\cdots+x[/inlmath] čija je suma [inlmath]150[/inlmath] i potrebno je pronaći [inlmath]x[/inlmath]. Znam da je [inlmath]x=a_n=-3+4(n-1)[/inlmath], ali mi je čudno da je rešenje zadatka toliko prosto. Na koji način mogu dobiti pravu vrednost od [inlmath]x[/inlmath] (poslednjeg člana)?

Prvo, jedna mala ispravka:

nikola011 je napisao:aritmetički niz [inlmath]-3+1+5+9+\cdots+x[/inlmath]...

Ovo što si napisao je red, dakle, suma članova niza.
Što se zadatka tiče, potrebno je samo primeniti formulu za sumu prvih [inlmath]n[/inlmath] članova niza [inlmath]S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)[/inlmath]:
[dispmath]150=\frac{n}{2}(-3-3+4(n-1))\\
150=-3n+2n(n-1)\\
150=2n^2-5n[/dispmath] Ova kvadratna jednačina se lako rešava i dobija se [inlmath]n=10[/inlmath]. Dakle, [inlmath]150[/inlmath] je suma prvih [inlmath]10[/inlmath] članova niza, a [inlmath]x[/inlmath] je upravo deseti član:
[dispmath]x=-3+4(10-1)=33[/dispmath]

[inlmath]x[/inlmath] se može pronaći i „direktno“, bez nalaženja broja članova niza [inlmath]n[/inlmath]. Ako se iz [inlmath]x=-3+4(n-1)[/inlmath] izrazi [inlmath]n[/inlmath] kao [inlmath]n=\frac{x+7}{4}[/inlmath] i uvrsti u izraz za sumu [inlmath]S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)[/inlmath], dobije se
[dispmath]150=\frac{x+7}{8}(-3+x)[/dispmath] i reši se kvadratna po [inlmath]x[/inlmath]...