MATEMANIJA

treba mi pomoc oko odredjivanja [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}x_n[/inlmath] ako je niz definisan [inlmath]x_{n+1}=\left|x_n-\frac{1}{n}\right|[/inlmath] pri tom je [inlmath]x_1>0[/inlmath]. Ocigledno je da ce da niz tezi [inlmath]0[/inlmath] ali ne znam kako bih dokazao monotonost jer bi morao da oduzimam [inlmath]x_{n+1}-x_n[/inlmath] ili [inlmath]\frac{x_{n+1}}{x_n}[/inlmath] sto mi apsolutna vrednost kvari jer bih onda morao da delim u dva slucaja npr kad [inlmath]x_n>\frac{1}{n}[/inlmath] (lako se svede na [inlmath]x_{n+1}-x_n=x_n-\frac{1}{n}-x_n=-\frac{1}{n}<0[/inlmath]) i kad je manje ali onda dobijam [inlmath]\frac{1}{n}-2x_n[/inlmath] sto ne mora nuzno da bude manje od nule kao u prvom slucaju

za slucaj kad je [inlmath]x_n<\frac{1}{n}[/inlmath] onda deljenjem [inlmath]\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{\frac{1}{n}-x_n}{x_n}=\frac{1}{nx_n}-1<1[/inlmath] pa niz opada a sto se tice limesa niz je uvek pozitivan pa je ogranicen odozdo sto dokazujemo indukcijom
[dispmath]B)\;x_1>0\quad\left(x_n>\frac{1}{n}\right)[/dispmath][dispmath]H)\;x_n>0[/dispmath][dispmath]K)\;x_n>\frac{1}{n}\\
x_n-\frac{1}{n}>0\\
x_{n+1}>0[/dispmath] slicno i za [inlmath]x_n<\frac{1}{n}[/inlmath] pa [inlmath]x_n-\frac{1}{n}<0[/inlmath] to kad se pomnozi [inlmath]-1[/inlmath] pa se dobije [inlmath]-\left(x_n-\frac{1}{n}\right)>0[/inlmath] gde je leva strana jednaka [inlmath]x_{n+1}[/inlmath] po definiciji apsolutne vrednosti. onda se odredi limes sa [inlmath]x=\left|x-\frac{1}{n}\right|[/inlmath] pa se dobije da konvergira jedino za slucaj [inlmath]x<\frac{1}{n}[/inlmath]

matija je napisao:Ocigledno je da ce da niz tezi [inlmath]0[/inlmath]

Ako može pojašnjenje, na osnovu čega je očigledno?
Dobio sam i ja da teži nuli, ali daleko od toga da je (bar meni) očigledno. Dok su članovi niza veći od [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath] niz će biti opadajući (što si i dokazao), ali treba pokazati i da neće asimptotski s gornje strane težiti nekoj pozitivnoj vrednosti (npr. kao što bi niz [inlmath]5+\frac{1}{n}[/inlmath], iako je monotono opadajući, težio petici a ne nuli). Ja sam to radio tako što se, za članove niza koji su veći od [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath], rekurentna formula može napisati bez apsolutne vrednosti,
[dispmath]x_{n+1}=x_n-\frac{1}{n}\\
x_{n+2}=x_{n+1}-\frac{1}{n+1}=x_n-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\\
x_{n+3}=x_{n+2}-\frac{1}{n+2}=x_n-\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\\
\vdots\\
x_{n+k}=x_n-\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+k-1}\right)[/dispmath] Pošto suma u zagradi divergira (tj. ne teži nijednoj konstantnoj vrednosti), možemo zaključiti da ovaj niz neće konvergirati ka nekoj pozitivnoj vrednosti, već će, počev od nekog člana, ovaj niz „upasti“ u interval [inlmath]\Bigl[0,\frac{1}{n}\Bigr][/inlmath], nakon čega počinje da važi rekurentni izraz s apsolutnom zagradom.
Nakon što je niz „upao“ u [inlmath]\Bigl[0,\frac{1}{n}\Bigr][/inlmath], više neće biti monotono opadajući, već će oscilovati, ali se može pokazati indukcijom da više ne može napustiti taj interval, već da mora oscilovati unutar tog intervala:
[dispmath]0\le x_n\le\frac{1}{n}\quad\Longrightarrow\quad-\frac{1}{n}\le-x_n\le0\quad\Longrightarrow\quad\frac{1}{n}-\frac{1}{n}\le\underbrace{\frac{1}{n}-x_n}_{x_{n+1}}\le\frac{1}{n}\quad\Longrightarrow\quad0\le x_{n+1}\le\frac{1}{n}[/dispmath] A pošto [inlmath]\frac{1}{n}[/inlmath] teži nuli, na osnovu teoreme o dva policajca, težiće nuli i niz [inlmath]x_n[/inlmath].

matija je napisao:za slucaj kad je [inlmath]x_n<\frac{1}{n}[/inlmath] onda deljenjem [inlmath]\frac{x_{n+1}}{x_n}=\frac{\frac{1}{n}-x_n}{x_n}=\frac{1}{nx_n}-1<1[/inlmath] pa niz opada

Ne mora važiti [inlmath]\frac{1}{nx_n}-1<1[/inlmath]. Ako je, recimo, [inlmath]x_n=\frac{1}{3n}[/inlmath], tada će [inlmath]\frac{1}{nx_n}-1[/inlmath] biti jednako [inlmath]2[/inlmath].

matija je napisao:a sto se tice limesa niz je uvek pozitivan pa je ogranicen odozdo sto dokazujemo indukcijom

Zapravo, niz je uvek nenegativan (članovi mu mogu biti pozitivni ili nula). Ali, u dokazu s indukcijom prevideo si slučaj [inlmath]x_n=\frac{1}{n}[/inlmath].
Nije ni potrebna indukcija da bi se to dokazalo. Pošto je svaki član niza dat nekim izrazom unutar apsolutne vrednosti (izuzev prvog člana za koji je rečeno da je pozitivan), to je jasno da članovi niza ne mogu biti negativni.

Reko sam da tezi [inlmath]0[/inlmath] na osnovu toga sto kada se uradi "test" za limes ako pretpostavimo da ima sto je [inlmath]x=\left|x-\frac{1}{n}\right|[/inlmath] dobijemo dva slucaja [inlmath]0=\frac{1}{n}[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{1}{2n}[/inlmath] i plus sam video da ako je npr [inlmath]x_1=2[/inlmath] da ce se od njega oduzimati divergentni niz ali ono sto ocigledno nisam umeo da pokazem da ce niz uvek ostati u intervalu [inlmath]\Bigl[0,\frac{1}{n}\Bigr][/inlmath]