MATEMANIJA

Pozdrav svima. Trazio sam nacin resavanja za osmi zadatak na probnom prijemnom na ETFU i nisam uspeo da ga nadjem. Pokusao sam na razne nacine ali uvek negde zablokiram. Bio bih zahvalan ako bi neko mogao da mi objasni kako da ga uradim. Za one koje ne znaju:

Brojevi [inlmath]a_1[/inlmath], [inlmath]a_2[/inlmath] i [inlmath]a_3[/inlmath] su prva tri člana rastuće geometrijske progresije a zbir im je jednak [inlmath]19[/inlmath]. Brojevi [inlmath]a_1[/inlmath], [inlmath]a_2+4[/inlmath] i [inlmath]a_3+7[/inlmath] su prva tri člana aritmetičke progresije. Tada je zbir [inlmath]3a_1+4a_2+5a_3[/inlmath] jednak:

link zadatka

Pozdrav i tebi, imenjače, kao što vidiš dodao sam Latex u tvoj post, sada je sve to mnogo preglednije. Latex je inače obavezan na ovom forumu, a svakako bih te uputio da se upoznaš i s ostalim pravilima foruma.

Mislim da ovaj zadatak umeš bar da započneš postavljanjem jednačina. Iz rečenice

DanielF je napisao:Brojevi [inlmath]a_1[/inlmath], [inlmath]a_2[/inlmath] i [inlmath]a_3[/inlmath] su prva tri člana rastuće geometrijske progresije

jasno je da pišemo jednačinu [inlmath]a_1a_3=a_2^2[/inlmath].

DanielF je napisao:a zbir im je jednak [inlmath]19[/inlmath].

Pisanje ove jednačine prepuštam tebi, jer je više nego trivijalno.

DanielF je napisao:Brojevi [inlmath]a_1[/inlmath], [inlmath]a_2+4[/inlmath] i [inlmath]a_3+7[/inlmath] su prva tri člana aritmetičke progresije.

I ovo bih prepustio tebi.

Nakon toga ćeš dobiti sistem od tri jednačine s tri nepoznate ([inlmath]a_1[/inlmath], [inlmath]a_2[/inlmath] i [inlmath]a_3[/inlmath]). Ako budeš imao problema s njegovim rešavanjem, napiši ovde taj sistem jednačina, pa radimo dalje.

Kao prvo raspisi poznato odnosno resenje lezi u textu:
1. korak:
[dispmath]a_1,\;a_2,\;a_3\\
a_1,\;a_2+4,\;a_3+7[/dispmath] 2. korak:
[dispmath]a_1,\;a_1q,\;a_1q^2\\
a_1,\;a_1q+4,\;a_1q^2+7[/dispmath] 3. korak (sada cemo upotrebiti podatak da je zbir geometrijskih clanova [inlmath]19[/inlmath] i osobinu aritmetickog niza):
[dispmath]a_1+a_1q+a_1q^2=19\\
2(a_1q+4)=a_1+a_1q^2+7[/dispmath] 4. korak (izvucemo [inlmath]a[/inlmath] ispred zagrade):
[dispmath]a_1\left(q^2+q+1\right)=19\\
a_1\left(2q-1-q^2\right)=-1[/dispmath] 5. korak (podijelimo jednu sa drugom):
-Dobijamo kvadratnu jednacinu po [inlmath]q[/inlmath]:
[dispmath]6q^2-13q+6=0[/dispmath] Odavde sledi da je [inlmath]q=\frac{3}{2}[/inlmath] i uvrstavajuci u neku od jednacina dobijamo da je [inlmath]a_1=4[/inlmath]
6. korak:
sada pocni mnoziti [inlmath]a_1[/inlmath] sa [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath] kako bi dobio [inlmath]a_2[/inlmath] i [inlmath]a_3[/inlmath]
7. korak:
[dispmath]3a_1+4a_2+5a_3=91[/dispmath] Ako ima nesto da ti nije jasno slobodno se javi ...

Napisao bih i postupak koji sam ja zamislio, bez određivanja [inlmath]q[/inlmath] (koji nam nije ni potreban):

DanielF je napisao:Brojevi [inlmath]a_1[/inlmath], [inlmath]a_2[/inlmath] i [inlmath]a_3[/inlmath] su prva tri člana rastuće geometrijske progresije

Dakle, za ovo, kao što već rekoh, pišemo jednačinu
[dispmath]a_1a_3=a_2^2\tag1[/dispmath]

DanielF je napisao:a zbir im je jednak [inlmath]19[/inlmath].

[dispmath]a_1+a_2+a_3=19\tag2[/dispmath]

DanielF je napisao:Brojevi [inlmath]a_1[/inlmath], [inlmath]a_2+4[/inlmath] i [inlmath]a_3+7[/inlmath] su prva tri člana aritmetičke progresije.

[dispmath]2(a_2+4)=a_1+a_3+7\tag3[/dispmath] Iz [inlmath](2)[/inlmath] sledi [inlmath]a_1+a_3=19-a_2[/inlmath] i to uvrstimo u [inlmath](3)[/inlmath]:
[dispmath]2(a_2+4)=19-a_2+7\quad\Longrightarrow\quad a_2=6[/dispmath] Dobijenu vrednost za [inlmath]a_2[/inlmath] uvrstimo u [inlmath](1)[/inlmath] i u [inlmath](2)[/inlmath], čime dobijamo sistem dve jednačne s dve nepoznate,
[dispmath]a_1a_3=36\\
a_1+a_3=13[/dispmath] Naravno, ovo se svodi na kvadratnu, tako što izrazimo [inlmath]a_3[/inlmath] preko [inlmath]a_1[/inlmath], tj. [inlmath]a_3=13-a_1[/inlmath] i uvrstimo u prvu jednačinu... nađemo [inlmath]a_1[/inlmath], odbacimo ono rešenje koje ne bi zadovoljilo da geometrijski niz mora biti rastući, a zatim nađemo i [inlmath]a_3[/inlmath]...