MATEMANIJA

Izračunati beskonačni zbir:
[dispmath]\left(\sqrt{3+\sqrt8}\right)^{12}+\left(\sqrt{3+\sqrt8}\right)^{11}+\cdots+\sqrt{3+\sqrt8}+1+\sqrt{3-\sqrt8}+\left(\sqrt{3-\sqrt8}\right)^2+\cdots[/dispmath]
[dispmath]q=\frac{\left(\sqrt{3+\sqrt8}\right)^{11}}{\left(\sqrt{3+\sqrt8}\right)^{12}}=\frac{1}{\sqrt{3+\sqrt8}}[/dispmath][dispmath]S=\frac{\left(\sqrt{3+\sqrt8}\right)^{12}}{1-\frac{1}{\sqrt{3+\sqrt8}}}=\frac{\left(\sqrt{3+\sqrt8}\right)^{13}}{\sqrt{3+\sqrt8}-1}[/dispmath][dispmath]\sqrt{3+\sqrt8}=\sqrt{\frac{3+\sqrt{9-8}}{2}}+\sqrt{\frac{3-\sqrt{9-8}}{2}}=\sqrt2+1[/dispmath][dispmath]S=\frac{\left(\sqrt2+1\right)^{13}}{\sqrt2+1-1}=\frac{\left(\sqrt2+1\right)^{13}}{\sqrt2}[/dispmath] Ovo je tačno rešenje, ali kako da znam da mi [inlmath]q[/inlmath] ima sigurno tu vrednost što sam dobila? Jer da je u zadatku napisano samo ovako [inlmath]\left(\sqrt{3+\sqrt8}\right)^{12}+\left(\sqrt{3+\sqrt8}\right)^{11}+\cdots[/inlmath] onda bih bila 100% sigurna da se [inlmath]q[/inlmath] dobija kad se drugi član podeli sa prvim, ali ovaj zbir se ipak prekida ovim [inlmath]+\sqrt{3+\sqrt8}+1+\sqrt{3-\sqrt8}+[/inlmath], tako da mislim da sam samo imala sreće što se poklopilo rešenje...Svi ostali zadaci sa beskonačnim zbirom su postavljeni tako što piše prva 2-3 člana i posle toga tačkice, a ovde je drugačije. Nadam se da ste me razumeli

MartinaJuric je napisao:ali kako da znam da mi [inlmath]q[/inlmath] ima sigurno tu vrednost što sam dobila? Jer da je u zadatku napisano samo ovako [inlmath]\left(\sqrt{3+\sqrt8}\right)^{12}+\left(\sqrt{3+\sqrt8}\right)^{11}+\cdots[/inlmath] onda bih bila 100% sigurna da se [inlmath]q[/inlmath] dobija kad se drugi član podeli sa prvim, ali ovaj zbir se ipak prekida ovim [inlmath]{\color{red}+\sqrt{3+\sqrt8}+1+\sqrt{3-\sqrt8}+}[/inlmath], tako da mislim da sam samo imala sreće što se poklopilo rešenje

Pošto se radi o geometrijskom nizu količnik se dobija kada se podele bilo koja dva susedna člana (zna se koji je u imeniocu, a koji u brojiocu), tako da i da su bile tri tačke opet bi dobila isto. Drugo taj zbir se nigde ne prekida. Ovo crveno uopšte ne predstavlja prekid zbira (šta god to značilo). Samo će u tom trenutku važiti [inlmath]b_1q^{12}=1[/inlmath].

Nema nikakvog prekida. Pravilno si izračunala da je količnik niza [inlmath]\frac{1}{\sqrt{3+\sqrt8}}[/inlmath]. Znamo da svaki sledeći član dobijamo množenjem količnika i onog prethodnog. Stigli smo do [inlmath]\sqrt{3+\sqrt8}[/inlmath]. Pomnoži ga količnikom i dobićeš jedinicu. Sledeći korak malo pravimo "gimnastiku":
[dispmath]1=\sqrt1=\sqrt{9-8}=\sqrt{3^2-\left(\sqrt8\right)^2}=\sqrt{\left(3+\sqrt8\right)\left(3-\sqrt8\right)}[/dispmath] Pošto su obe potkorene veličine nenegativne, smemo da "razdvojimo" dva korena, pa pomnožimo količnikom, i tačno dobiješ ovaj član iza jedinice.

@Martina, možda tebe zbunjuje to što za članove pre jedinice važi [inlmath]\displaystyle q=\frac{1}{\sqrt{3+\sqrt8}}[/inlmath], dok za članove nakon jedinice važi [inlmath]q=\sqrt{3-\sqrt8}[/inlmath].
Ali, zapravo, [inlmath]\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3+\sqrt8}}[/inlmath] je jednako [inlmath]\sqrt{3-\sqrt8}[/inlmath]:
[dispmath]\sqrt{3+\sqrt8}\cdot\sqrt{3-\sqrt8}=\sqrt{\left(3+\sqrt8\right)\left(3-\sqrt8\right)}=\sqrt{9-8}=1\quad\Longrightarrow\quad\frac{1}{\sqrt{3+\sqrt8}}=\sqrt{3-\sqrt8}[/dispmath]
EDIT: miletrans je bio brži.

Daa, to me je bunilo, hvala @Daniel i @miletrans, nego nisam znala baš kako da se izrazim, pa sam napisala ''prekid''