MATEMANIJA

Cemu je jednaka suma [inlmath]1+2\cdot2+3\cdot2^2+4\cdot2^3+\cdots+(n+1)\cdot 2^n[/inlmath] gde je [inlmath]n\ge3[/inlmath]
Stvarno ne znam kako da resim ovaj zadatak

Ja poznajem jedan metod rešavanja ovakvih problema, ali nisam siguran da je za srednju školu. Možda postoji neko jednostavnije rešenje jer pretpostavljam da ti je ovaj zadatak potreban za prijemni.
Evo mog rešenja. Prvo posmatrajmo geometrijski red:
[dispmath]1+x+x^2+x^3+\cdots+x^{n+1}=\frac{1-x^{n+2}}{1-x}[/dispmath] Već bismo ovde mogli prodiskutovati, ali verujem da je sve jasno. Jedino treba voditi računa o tome da ovaj niz ima [inlmath]n+2[/inlmath] članova.
Sada ćemo naći prvi izvod ovog reda (i leve i desne strane jednakosti):
[dispmath]0+1+2x+3x^2+\cdots+(n+1)x^n=\frac{1-x^{n+2}}{\left(1-x\right)^2}-\frac{\left(n+2\right)x^{n+1}}{1-x}[/dispmath] Primetimo da je leva strana jednakosti upravo jednaka traženoj sumi za [inlmath]x=2[/inlmath]. Ako uvrstimo [inlmath]x=2[/inlmath] dobijamo:
[dispmath]1+2\cdot2+3\cdot2^2+4\cdot2^3+\cdots+(n+1)\cdot2^n=1-2^{n+2}+(n+2)2^{n+1}[/dispmath]

Wow, hvala puno

Šta piše u rešenju (ako ga imaš)?

Da to je resenje

Corba248 je napisao:[dispmath]\cdots=1-2^{n+2}+(n+2)2^{n+1}[/dispmath]

I dobro, sad se to još malko dâ skockati,
[dispmath]\cdots=1-2\cdot2^{n+1}+(n+2)2^{n+1}=1+(-\cancel2+n+\cancel2)2^{n+1}=\enclose{box}{1+n\cdot2^{n+1}}[/dispmath]

---

Evo još jednog načina. Datu sumu obeležimo sa [inlmath]S_n[/inlmath]:
[dispmath]S_n=1+2\cdot2+3\cdot2^2+4\cdot2^3+\cdots+n\cdot2^{n-1}+(n+1)\cdot 2^n[/dispmath] Napišemo sada sumu [inlmath]2S_n[/inlmath]:
[dispmath]2S_n=2+2\cdot2^2+3\cdot2^3+4\cdot2^4+\cdots+n\cdot2^n+(n+1)\cdot 2^{n+1}[/dispmath] Od [inlmath]2S_n[/inlmath] oduzmemo [inlmath]S_n[/inlmath] (čime ćemo, razume se, opet dobiti sumu [inlmath]S_n[/inlmath]):
[dispmath]2S_n-S_n=-1+(1-2)\cdot2+(2-3)\cdot2^2+(3-4)\cdot2^3+\cdots+\bigl(n-(n+1)\bigr)\cdot2^n+(n+1)\cdot2^{n+1}\\
S_n=-1-2-2^2-2^3-\cdots-2^n+(n+1)\cdot2^{n+1}\\
S_n=-\underbrace{\left(1+2+2^2+2^3+\cdots+2^n\right)}_{\displaystyle\frac{1-2^{n+1}}{1-2}}+(n+1)\cdot2^{n+1}[/dispmath] Dalje je lako.

Nađa je napisao:Da to je resenje

Tačka 11. Pravilnika!

11.
...Takođe, ako imate krajnji rezultat koji treba da se dobije, napišite i njega.