MATEMANIJA

Dat je niz:
[dispmath]\lim_{n\to\infty}\text{tg}(\text{tg}(\text{tg}(\cdots(\text{tg }\varphi)\cdots)))\quad(\varphi\in\mathbb{R})[/dispmath] i potrebno ga je izracunati.

Iskreno ne umem ni da krenem ovaj zadatak... Da li ovako dat niz znaci da je [inlmath]a_1=\text{tg }\varphi[/inlmath], [inlmath]a_2=\text{tg}(\text{tg}\varphi))[/inlmath]... Da li mora da se ispituje monotonost i ogranicenost? Moze li neka pomoc u svakom slucaju

Pretpostavljam da se može uraditi na sledeći način, ali nemoj me držati za reč.

Ovo se može zapisati kao rekurentno zadat niz kao [inlmath]a_1=\tan\varphi[/inlmath], [inlmath]a_n=\tan(a_{n-1})[/inlmath]. Nema potrebe računati monotonost i ograničenost, jer, koliko vidim, traži se samo limes, a iz monotonosti i ograničenosti bismo dobili da je niz konvergentan, ali ne i vrednost limesa. Dakle, imamo:
[dispmath]A=\lim_{n\to\infty}a_{n-1}=\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\tan(a_{n-1})=\tan A\quad\Longrightarrow\quad A=\tan A\quad\Longrightarrow\quad A=0[/dispmath] Odnosno, pretpostavimo da je naš limes jednak [inlmath]A[/inlmath] i imamo da je [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n-1}[/inlmath] jer [inlmath]n[/inlmath] teži beskonačnosti.
Iako nije naglašeno da treba prodiskutovati rešenje u zavisnosti od [inlmath]\varphi[/inlmath], vredi pomenuti da limes ne postoji za [inlmath]\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath].
Što se tiče same postavke zadatka, da li se zna koji je tačan tekst zadatka?

Odmah moram da kažem da nemam zasad neku jasnu ideju za rešavanje, ali zadatak je vrlo zanimljiv i s velikim zadovoljstvom ću razmisliti kako bi se mogao rešiti. Zasad bih prokomentarisao ovo što je već napisano. Iz pomenutog uslova [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n-1}[/inlmath] možemo dobiti čemu je limes jednak u slučaju da on postoji. Međutim, time nismo dokazali postojanje limesa. Pojasnio bih to na primeru rekurentnog niza [inlmath]a_n=-a_{n-1}[/inlmath]. Ako bismo njegov limes tražili tako što bismo napisali [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n-1}[/inlmath], dobili bismo da je taj limes jednak nuli. I to bi bilo tačno ako bi bilo [inlmath]a_1=0[/inlmath]. Međutim, ako je [inlmath]a_1[/inlmath] bilo koji broj različit od nule, recimo neka je [inlmath]a_1=1[/inlmath], tada bi se niz sastojao naizmenično od vrednosti [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath], tako da limes ne bi postojao.
Slična stvar je i s ovim nizom, potrebno je dokazati da taj niz konvergira, a kad se to dokaže (tj. ako se dokaže), tada važi račun koji je Corba248 pokazao.

Niz nije ni monoton (lako je naći kontraprimere), a ni ograničen. Ograničen nije, jer ma koliko veliki broj [inlmath]M[/inlmath] da mi zadate, ja uvek mogu naći takvo [inlmath]\varphi>\text{arctg }M[/inlmath] da [inlmath]\text{tg }\varphi[/inlmath] bude veće od [inlmath]M[/inlmath], tj. da bude [inlmath]a_1>M[/inlmath]. Isto tako, mogu naći i [inlmath]\varphi[/inlmath] takvo da [inlmath]\text{tg }\varphi[/inlmath], tj. [inlmath]a_1[/inlmath], bude takvo da [inlmath]a_2[/inlmath] bude veće od [inlmath]M[/inlmath] itd. itd.
Međutim, ovo ipak ne znači da zadati niz ne može biti konvergentan – štaviše, možda je niz monoton i/ili ograničen počev od nekog svog člana pa nadalje...

Takođe, kao što je već rečeno, limes ne postoji za [inlmath]\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath], ali ne postoji ni za [inlmath]\varphi=\text{arctg}\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)+l\pi[/inlmath], jer je tada [inlmath]a_1=\text{tg }\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi[/inlmath], pa [inlmath]a_2=\text{tg }a_1[/inlmath] neće biti definisano (a samim tim ni naredni članovi); isto tako se mogu naći vrednosti [inlmath]\varphi[/inlmath] za koje [inlmath]a_3[/inlmath] neće biti definisano itd. itd...

Kao što je Daniel pokazao, postoji prebrojivo mnogo tačaka za koje niz neće biti definisan. Slično tome, postoji prebrojivo mnogo tačaka za koje će niz od nekog člana biti konstantan. Takođe, za svako prirodno [inlmath]n[/inlmath] postoji i prebrojivo mnogo tačaka koje će definisati periodičan niz sa periodom [inlmath]n[/inlmath].

Mene zanimaju naredna pitanja:
– Da li postoji broj koji definiše niz koji konvergira u beskonačnost? Ili barem niz koji nije ograničen.
– Da li postoji broj koji definiše strogo monoton konvergentan niz?
– Da li je skup brojeva za koje niz konvergira gust u [inlmath]\mathbb R[/inlmath] ?

Zaista zanimljiv zadatak. Gde si ga našao?

Hvala na odgovorima.

U svakom slucaju, meni najveci problem stvara grafik ovog niza. Naime, ako uzmemo da je niz neka funkcija koja zavisi od [inlmath]\varphi[/inlmath], sa relativno konacnim brojem ovih [inlmath]\text{tg}(\varphi)[/inlmath]... Ja sam usao na sajt "desmos" koji sluzi za crtanje grafika funkcija, i dobio jedan veoma cudan grafik, koji po meni ne lici ni na kakav niz, za raziliku od recimo [inlmath]\cos(\varphi)[/inlmath] ili [inlmath]\sin(\varphi)[/inlmath], ako to uvrstimo umesto [inlmath]\text{tg}(\varphi)[/inlmath] (kao pocetni niz) da ipak moze da se nasluti nesto.
Meni je prvo palo na pamet da predpostavim da je [inlmath]\text{tg}(\varphi)>0[/inlmath] i da je [inlmath]a_2=\text{tg}(a_1)[/inlmath] i to naravno ima svoj domen pripadnosti, a da tom domenu koji pripada [inlmath]a_2[/inlmath], da njemu pripada i [inlmath]a_n[/inlmath], pa donekle sam dosao na nacin na koji je Cobra248 krenuo, ali mi je postalo previse komplikovano kad sam morao da odredjujem gde je niz definisan a gde ne.
Posle kad sam video grafik, odustao sam.
Ja iskreno nemam dovoljno znanja da bih nesto samostalno resavao oko ovog niza, ali eto postavio sam ga ovde pa reko mozda ce nekom da se svidi pa da malo mozga glavom.
Tekst zadatka je: "Izracunati..." a odakle je zadatak ne mogu reci, a nemam ni resenje...

ubavic je napisao:Slično tome, postoji prebrojivo mnogo tačaka za koje će niz od nekog člana biti konstantan.

Ovo me podsetilo da sam u svom prethodnom postu zaboravio da ukažem na još jedan propust (i time i sâm napravio propust). U slučaju da limes postoji, iz [inlmath]\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n-1}[/inlmath] ne bi se kao rešenje dobila samo nula, već bi kandidati za rešenje bile sve vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koje važi [inlmath]x=\text{tg }x[/inlmath], to jest koordinate svih presečnih tačaka krivih [inlmath]y_1=x[/inlmath] i [inlmath]y_2=\text{tg }x[/inlmath] na sledećem grafiku,


a njih ima beskonačno (ali prebrojivo) mnogo.

Subject je napisao:Ja sam usao na sajt "desmos" koji sluzi za crtanje grafika funkcija, i dobio jedan veoma cudan grafik, koji po meni ne lici ni na kakav niz,

Nisam ovo baš razumeo, kakav grafik? Šta je na apscisi, a šta na ordinati? Koliko sam te shvatio (možda i pogrešno), na apscisi je [inlmath]\varphi[/inlmath], a da li je na ordinati [inlmath]n[/inlmath]-ti član niza (za neko određeno [inlmath]n[/inlmath]), ili nešto drugo?

Možda ovaj grafički prikaz niza nekome dâ neku ideju...


Što se mene tiče, jedino što ja ovde uočavam to je haotičnost, idealna za primenu u generatorima pseudorandom brojeva...