MATEMANIJA

Zdravo,
Da li bi neko znao da mi objasni razliku izmedju [inlmath]\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^k\cdot k[/inlmath] i [inlmath]\sum\limits_{k=1}^\infty(-1)^k\cdot k[/inlmath]?
Koja je fora sa ovim brojacem?
Na Wolfram Aplha dobijem isti rezultat sumiranja za obje, ali mi nije jasno da li su ekvivalentne ili brojac mijenja nesto? Kada zapravo mogu iskoristiti to pomijeranje [inlmath]k[/inlmath] sa [inlmath]0[/inlmath] na [inlmath]1[/inlmath]?

U opštem slučaju, sume [inlmath]\sum\limits_{k=0}^\infty A(k)[/inlmath] i [inlmath]\sum\limits_{k=1}^\infty A(k)[/inlmath] (gde je [inlmath]A(k)[/inlmath] bilo koji izraz u kojem figuriše [inlmath]k[/inlmath]) naravno da nisu jednake. Razlikuju se za onaj sabirak u kojem je [inlmath]k=0[/inlmath], tj.
[dispmath]\sum_{k=0}^\infty A(k)=A(0)+\underbrace{A(1)+A(2)+A(3)+\cdots}_{\sum\limits_{k=1}^\infty A(k)}=A(0)+\sum_{k=1}^\infty A(k)[/dispmath] Međutim, u ovoj konkretnoj sumi je nulti sabirak [inlmath]A(0)[/inlmath] jednak nuli:
[dispmath]A(0)=(-1)^0\cdot0=0[/dispmath] zbog čega su i sume [inlmath]\sum\limits_{k=0}^\infty(-1)^k\cdot k[/inlmath] i [inlmath]\sum\limits_{k=1}^\infty(-1)^k\cdot k[/inlmath] jednake.

Možemo to zapisati i ovako:
[dispmath]\sum_{k=1}^\infty(-1)^k\cdot k=(-1)^1\cdot1+(-1)^2\cdot2+(-1)^3\cdot3+\cdots\\
\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\cdot k=\underbrace{(-1)^0\cdot0}_0+\underbrace{(-1)^1\cdot1+(-1)^2\cdot2+(-1)^3\cdot3+\cdots}_{\sum\limits_{k=1}^\infty(-1)^k\cdot k}=\sum_{k=1}^\infty(-1)^k\cdot k[/dispmath]