MATEMANIJA

Odrediti poluprecnik konvergencije, interval konvergencije i sumu reda
[dispmath]\sum_{n=1}^\infty\frac{x^{3n}}{3n(3n-1)(3n-2)}[/dispmath] Ja imam rijesenje koje je [inlmath]R=1[/inlmath] a interval konvergencije [inlmath][-1,1)[/inlmath] to znam odrediti, ali sumu ovog reda nisam uspio nikako. Mislim ocigledno je da diferenciranjem cemo dobiti neku sumu koja je poznata iz tablice, mada da bih dosao do takve sume ja moram tri puta diferencirati, ali onda znaci da moram tri puta integraliti, nekako mi je to previse posla pa nisam siguran da li je to pravi put ili ima neki drugi nacin. Rijesenje je
[dispmath]-\frac{1}{6}\ln(x-1)+\frac{x^2-2x-2}{2}\ln\left(1+x+x^2\right)+\frac{x^2+2x}{2\sqrt3}\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt3}\right)-\left(x^2+2x\right)\frac{\pi}{12\sqrt3}[/dispmath]

Pa, čim se za krajnji rezultat dobija ovakva kobasica, onda mislim da je sasvim očekivano da u zadatku ima dosta posla, zar ne?

Inače, napisano rešenje ne valja. Prvo, odmah se može videti da u intervalu konvergencije [inlmath]\ln(x-1)[/inlmath] neće biti definisano. Čak i kada bismo [inlmath]x-1[/inlmath] stavili unutar apsolutnih zagrada, ima tu još grešaka. Tačan rezultat iznosi (crvenom bojom sam obeležio ispravke):
[dispmath]-\frac{\color{red}x^2-2x+1}{6}\ln{\color{red}|}x-1{\color{red}|}+\frac{x^2-2x-2}{\color{red}12}\ln\left(1+x+x^2\right)+\frac{x^2+2x}{2\sqrt3}\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt3}\right)-\left(x^2+2x\right)\frac{\pi}{12\sqrt3}[/dispmath]