MATEMANIJA

Zadatak: U zavisnosti od realnog parametra [inlmath]p[/inlmath] ispitati konvergenciju reda: [dispmath]\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{\left\lfloor \sqrt{n}\right\rfloor}}{n^p} .[/dispmath] Ono što sam ja uradio je sledeće: Ovaj red apsolutno konvergira (pa i konvergira) za [inlmath]p>1[/inlmath]. Takođe, rekao bih da za [inlmath]p=0[/inlmath] red divergira. Ne znam kako da rešim za ostale vrednosti parametra [inlmath]p[/inlmath].

Pokazi prvo da je dati red jednak redu [inlmath]\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\sum_{k=n^2}^{(n+1)^2-1}\frac1{k^p}[/inlmath]. Posle pokusaj da nadjes odgovarajuce ocene, npr. koristeci integrale. Takodje, za [inlmath]p<0[/inlmath] red divergira jer opsti clan ne tezi nuli.

Resenje je da red konvergira ako i samo ako je [inlmath]p>\frac12[/inlmath].