MATEMANIJA

Imam više zadataka u kojima je definisan neki niz čiju konvergentnost treba da pokažem i na kraju da pronađem graničnu vrijednost.
Shvatila sam šablon - treba dokazati monotonost i ograničenost, pa je onda po teoremi dokazano da je niz konvergentan. Pronalaženje granične vrijednosti nije problem, ali prva dva koraka jesu - isključivo zbog matematičke indukcije koja se koristi. Ranije sam se susretala sa mat. indukcijom, ali to je bilo poprilično površno.
Primjer zadatka je: Neka je niz [inlmath]{a_n}[/inlmath], n je prirodan broj, definisan na sljedeći način: [dispmath]a_n=\frac{1}{2}(a_{n-1}+\frac{9}{a_{n-1}}), a_0=1[/dispmath] Pokazati da je niz konvergentan i naći njegovu graničnu vrijednost.

Objašnjeno mi je da prvo postavim bazu indukcije, [inlmath]n=1[/inlmath] i dokažem da je [inlmath]a_1< a_2[/inlmath], zatim postavim hipotezu, ali taj korak i dokaz mi nisu jasni: stavljam da za to [inlmath]n=k[/inlmath] ide [inlmath]a_k<a_{k+1}[/inlmath], zatim u dokazu mi je[inlmath]a_{k+1}>a_k[/inlmath]. ali prilikom računanja koristim hipotezu. Po kojoj ideji postavljam ove nejednakosti i kako računam?
Unaprijed zahvalna na objašnjenju

Ovaj niz je, pre svega, dobro definisan što se lako pokazuje indukcijom (što ne bi bilo loše odmah uraditi, ali pošto je zaista lako ja ću uzeti da smo pokazali da važi da [inlmath]\left (\forall n\in\mathbb{N}\right ) a_n>0[/inlmath]).
Monotonost se često dokazuje preko razlike dva susedna člana. Dakle [dispmath]a_{n+1}-a_n=\frac{1}{2}\cdot\frac{\left ( 3-a_n\right )\left (3+a_n\right ) }{a_n}[/dispmath]
Kako smo već dokazali da je [inlmath]a_n[/inlmath] uvek pozitivno znak ove razlike zavisiće samo od znaka [inlmath]3-a_n[/inlmath]. Sada primenimo indukciju da dokažemo da je ovo uvek negativno ili uvek pozitivno. Možemo uzeti prvih nekoliko članova našeg niza (ovo je čisto da bismo naslutili šta je od ta dva tačno, ali ne možemo na ovaj način biti unapred sigurni) [inlmath]a_1=5,a_2=\frac{17}{5}, a_3=\frac{514}{170},\ldots[/inlmath]. Indukcijom ćemo pokazati da je [inlmath]\left (\forall n\in\mathbb{N}\right ) a_n>3[/inlmath].
Baza: [inlmath]a_1=5>3[/inlmath].
Pod pretpostavkom da je [inlmath]a_n>3[/inlmath] treba dokazati da je [inlmath]a_{n+1}>3[/inlmath]. [dispmath]\frac{1}{2}\left (a_n+\frac{9}{a_n} \right )>3\Longrightarrow (a_n-3)^2>0[/dispmath]
(Međukorake sam preskočio)
Ovom indukcijom smo dokazali da je naš niz odozdo ograničen trojkom, a po prethodnoj analizi i opadajući, te je on i konvergentan. Ako mu graničnu vrednost označimo sa [inlmath]A[/inlmath], na uobičajen način dobijamo [inlmath]A=3[/inlmath].

Prije svega, hvala na brzom odgovoru.

S obzirom da i dalje ne razumijem, pitaću ono što nisam shvatila. Kako ste dobili za [inlmath]a_{n+1}-a_n[/inlmath] navedeni izraz? Da li se za [inlmath]a_{n+1}[/inlmath] uvrštava [inlmath]\frac{1}{2}(a_n+\frac{9}{a_n})[/inlmath], a za [inlmath]a_n[/inlmath] ovo sa [inlmath]n-1[/inlmath] u indeksu?
Nije mi jasno šta je šta kad mi je opšti član ovako zadat.

Ako bih ipak odlučila da monotonost dokazujem preko matematičke idukcije, kako bi to izgledalo? Ono što meni i predstavlja problem jeste indukcija, a primjeri koje mogu da pronađem u vezi nje su uglavnom mnogo drugačiji od ovog što treba ovdje da uradim.

Boba R. je napisao:S obzirom da i dalje ne razumijem, pitaću ono što nisam shvatila. Kako ste dobili za [inlmath]a_{n+1}-a_n[/inlmath] navedeni izraz?

Samo se umesto [inlmath]a_{n+1}[/inlmath] uvrsti [inlmath]\frac{1}{2}\left ( a_n+\frac{9}{a_n}\right )[/inlmath].

Boba R. je napisao:Ako bih ipak odlučila da monotonost dokazujem preko matematičke idukcije, kako bi to izgledalo? Ono što meni i predstavlja problem jeste indukcija, a primjeri koje mogu da pronađem u vezi nje su uglavnom mnogo drugačiji od ovog što treba ovdje da uradim.

Dokazivali bismo da je ovaj niz opadajući, odnosno [inlmath]\left (\forall n\in\mathbb{N}\right ) a_{n+1}<a_n[/inlmath]. Baza indukcije za [inlmath]n=1[/inlmath] je [inlmath]a_2<a_1[/inlmath] što je tačno. Pretpostavka je da važi [inlmath]a_{n+1}<a_n[/inlmath] i na osnovu toga treba da dokažemo da je [inlmath]a_{n+2}<a_{n+1}[/inlmath]. Kada uvrstimo [inlmath]a_{n+2}=\frac{1}{2}\left ( a_{n+1}+\frac{9}{a_{n+1}}\right )[/inlmath] i [inlmath]a_{n+1}=\frac{1}{2}\left ( a_n+\frac{9}{a_n}\right )[/inlmath] dobija se [inlmath]a_na_{n+1}>9[/inlmath] što je tačno jer smo već dokazali da su svi članovi niza veći od [inlmath]3[/inlmath].