MATEMANIJA

Ako se zbir [inlmath]n[/inlmath] clanova aritmetickog niza moze dobiti po formuli [inlmath]S_n={(n+1)}^2-1[/inlmath], onda je [inlmath]2001.[/inlmath] clan niza jednak?

Ja sam pokusao da izjednacim datu formulu sa formulom [inlmath]S_n=\frac{n}{2}\cdot(2a_1+(n-1)\cdot d)[/inlmath]. I dobio
[dispmath]\frac{n}{2}\cdot(2a_1+(n-1)\cdot d)=n^2+2n\cancel{+1}\cancel{-1}[/dispmath][dispmath]\frac{n}{2}\cdot(2a_1+(n-1)\cdot d)=n\cdot (n+2)[/dispmath][dispmath]\frac{n}{2}\cdot(2a_1+(n-1)\cdot d)=\frac{n}{2}\cdot (2n+4)[/dispmath]
Nakon toga sam podelio jednacinu sa [inlmath]\frac{n}{2}[/inlmath]:
[dispmath]2a_1+(n-1)\cdot d=2n+4[/dispmath]
Kada sam uzeo vrednost [inlmath]n=1[/inlmath] dobio sam:
[dispmath]2a_1=6\\
a_1=3[/dispmath]
A onda sam uzeo [inlmath]n=2[/inlmath] i dobio:
[dispmath]d=2\\
a_{2001}=4003[/dispmath]
Da li je ovaj postupak dobar? Sumnjivo mi je zato sto nisam do sada radio zadatke na ovaj nacin

Postupak je dobar, a to mozes i da proveris.
Posto si dobio da je [inlmath]a_1=3\quad d=2[/inlmath] znaci imamo niz [inlmath]3,5,7,9,11\dots[/inlmath]
E sad u zadatku kaze da zbir svih clanova moze da se racuna i po formuli:
[dispmath]S_n=(n+1)^2-1[/dispmath] pa racunamo samo za prvih pet clanova (da napomenem, mi ne znamo koliko ima clanova - uzimamo npr. prvih pet clanova samo da proverimo - ti mozes da uzmes i vise clanova radi provere)
[dispmath]S_n=(5+1)^2-1=35[/dispmath]
Zatim proveris i sa formulom:
[dispmath]S_n=\frac{n}{2}[2a_1+(n-1)d][/dispmath][dispmath]S_n=\frac{5}{2}[6+(5-1)2][/dispmath][dispmath]S_n=\frac{5}{2}[6+8][/dispmath][dispmath]S_n=\frac{5}{2}\cdot 14[/dispmath][dispmath]S_n=35[/dispmath]

Provera nije problem, mene je mucilo samo ovo uzimanje razlicitih vrednosti za [inlmath]n[/inlmath], ali ako kazes da je dobro super

Potvrđujem Forzin odgovor. Broj [inlmath]n[/inlmath] nam ne predstavlja broj članova niza (niz može imati i beskonačno članova), broj [inlmath]n[/inlmath] samo koristimo da bismo izračunali sumu prvih [inlmath]n[/inlmath] članova niza koje posmatramo.

Ostaviću jos jedan način na koji bismo mogli uraditi ovaj zadatak iz ove teme. Ovaj postupak je malo brzi od gore navedenog, pa neće biti loše da i njega imamo na forumu.
U formulu [inlmath]S_n=(n+1)^2-1[/inlmath], da bismo odredili koliko iznosi prvi član niza, umesto [inlmath]n[/inlmath] pišemo [inlmath]1[/inlmath]. Dakle [inlmath]S_1=a_1=3[/inlmath]. Zbir prva dva člana niza cemo odrediti kada u formulu [inlmath]S_n=(n+1)^2-1[/inlmath], umesto [inlmath]n[/inlmath] pišemo [inlmath]2[/inlmath]. Dobijamo da je zbir prva dva člana [inlmath]8[/inlmath], pa je [inlmath]a_2=8-a_1=5[/inlmath]. Sada imamo vrednosti dva uzastopna člana niza, pa mozemo Izračunati razliku niza, [inlmath]d=a_2-a_1=2[/inlmath]. Imamo prvi član i razliku niza tako da mozemo odrediti bilo koji član.
[dispmath]a_{2001}=3+(2001-1)\cdot2\\
a_{2001}=4003[/dispmath]