Zbir članova beskonačne geometrijske progresije je [inlmath]3[/inlmath], a zbir kubova njenih članova je [inlmath]\frac{108}{13}[/inlmath]. Tada je zbir kvadrata njenih članova jednak:
a) [inlmath]\frac{9}{2}[/inlmath], b) [inlmath]\frac{9}{4}[/inlmath], c) [inlmath]\frac{3}{4}[/inlmath], d) [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath], e) [inlmath]\frac{27}{8}[/inlmath], n) ne znam

U ovom zadatku dobijem da mi je kolicnik niza [inlmath]18[/inlmath] ili [inlmath]\frac{46}{3}[/inlmath], sto je pretpostavljam netacno jer, apsolutna vrednost kolicnika kod GP treba da je manja od [inlmath]1[/inlmath].

Radio sam po principu da mi je [inlmath]3=\frac{a_1}{1-q}[/inlmath] i [inlmath]\frac{108}{13}=\frac{a_1^3}{\color{red}{1-q^3}}[/inlmath]. Verovatno je greska ovo crvenom bojom, ali nisam siguran. Pomagajte

Ne, dobro si postavio, ali si kasnije nešto zezno u računu...[dispmath]\frac{a_1^3}{1-q^3}=\frac{108}{13}[/dispmath][dispmath]\cancelto{3}{\frac{a_1}{1-q}}\cdot\frac{a_1^2}{1+q+q^2}=\frac{108}{13}\quad /:3[/dispmath][dispmath]\frac{a_1^2}{1+q+q^2}=\frac{36}{13}[/dispmath][inlmath]\frac{a_1}{1-q}=3\quad\Rightarrow\quad a_1=3\left(1-q\right)[/inlmath][dispmath]\frac{9\left(1-q\right)^2}{1+q+q^2}=\frac{36}{13}\quad /:9[/dispmath][dispmath]\frac{1-2q+q^2}{1+q+q^2}=\frac{4}{13}[/dispmath][dispmath]13\left(1-2q+q^2\right)=4\left(1+q+q^2\right)[/dispmath][dispmath]13-26q+13q^2=4+4q+4q^2[/dispmath][dispmath]9q^2-30q+9=0\quad /:3[/dispmath][dispmath]3q^2-10q+3=0[/dispmath][dispmath]q_{1,2}=\frac{10\pm\sqrt{100-36}}{6}[/dispmath][dispmath]q_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6}[/dispmath][dispmath]q_{1,2}=\frac{5\pm 4}{3}[/dispmath][dispmath]\underline{q_1=\frac{1}{3}},\quad\cancel{q_2=3}[/dispmath]Drugo rešenje, naravno, odbacujemo, jer tražimo samo ono [inlmath]q[/inlmath] za koje važi [inlmath]\left|q\right|<1[/inlmath].[dispmath]a_1=3\left(1-q\right)=3-3q=3-1=2[/dispmath]Zbir kvadrata članova ove progresije:[dispmath]\frac{a_1^2}{1-q^2}=\frac{2^2}{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2}=\frac{4}{\frac{8}{9}}=\frac{9}{2}[/dispmath]

Uh, tacno, ja sam ga bas bio zakomplikovao u racunu, nisam uspeo ovako lepo da svedem i zamenim. Hvala.

Da li moze malo pojasnjenje oko postavke zadatka? Znam da pisem 10 godina kasnije, izvinjavam se

Možda te buni ovo crveno,

maxaa je napisao:Zbir članova beskonačne aritmetičke progresije je [inlmath]3[/inlmath],

Da, to je greška, a evo i ja tek nakon deset godina primećujem tu grešku.
Ispravio sam uvodni post, da ne bi izazivao zabunu. U pitanju je, naravno, geometrijska progresija kao što i piše u nazivu teme.

Nisam bio primetio.

Bune me dve stvari. Kako smo na početku izrazili zbir svih članova i zbir kubova? Koji smo obrazac koristili?

Takođe, zašto smo isključili [inlmath]q=3[/inlmath]?

Izvinjavam se, pitanja su možda glupa, ali nisam uspeo da se snadjem oko ovog zadatka.

Pošto je geometrijska progresija beskonačna, a zbir njenih članova konačan, to onda znači da količnik [inlmath]q[/inlmath] mora biti manji od jedinice.
To je i intuitivno jasno, a vidi se i iz formule za sumu geometrijske progresije:
[dispmath]S_n=a_1\frac{1-q^n}{1-q}[/dispmath] Suma je beskonačna, prema tome, [inlmath]n\to\infty[/inlmath], pa ako je [inlmath]q>1[/inlmath] tada i [inlmath]q^n\to\infty[/inlmath], pa je i suma beskonačna. Međutim, kada je [inlmath]0<q<1[/inlmath], tada kod beskonačne sume [inlmath]q^n\to0[/inlmath], pa je suma konačna.
Dakle, u ovom zadatku [inlmath]q[/inlmath] ne može biti veće od [inlmath]1[/inlmath]. Zato rešenje [inlmath]q=3[/inlmath] otpada. Takođe, izraz za sumu svodi se na [dispmath]S=a_1\frac{1}{1-q}[/dispmath] Pošto je suma osnovnog niza [inlmath]a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+\cdots[/inlmath], tada će suma kvadrata njegovih članova biti [inlmath]a_1^2+a_1^2q^2+a_1^2q^4+a_1^2q^6+\cdots[/inlmath], tj. početni član će sada biti [inlmath]a_1^2[/inlmath] a količnik će biti [inlmath]q^2[/inlmath], pa će sada formula za sumu glasiti
[dispmath]S=a_1^2\frac{1}{1-q^2}[/dispmath] Slično i za sumu kubova članova...

Hvala lepo na pojasnjenju